Орт вектора. Прямоугольный декартовый базис.
Направление любого вектора определяется его ортом.
Определение 3. Единичным вектором или ортом вектора называется вектор
, который имеет одинаковое направление с вектором
и модуль, равный единице.
Очевидным является равенство
=
. (4)
![]() |
Рассмотрим три упорядоченных вектора единичной длины (орта) , попарно перпендикулярных и направленных так, что из конца третьего вектора (
) кратчайший поворот от первого вектора (
) ко второму вектору (
) виден против часовой стрелки (рис. 6). Такая ориентация векторов называется правой. В противном случае (когда поворот по часовой стрелке) тройка векторов называется лево ориентированной (тройка
– левая). Очевидно, что векторы
– не компланарны (вектор
перпендикулярен плоскости векторов
и
), поэтому они образуют базис в
. Этот базис
получил название – прямоугольного декартова базиса. Базисом
широко пользуются в геометрии и в теории любых прикладных векторных полей. В дальнейшем все преобразования с векторами будут, по умолчанию, производиться в прямоугольном декартовом базисе. На плоскости (в R2) прямоугольный декартовый базис образует пара векторов
.
![]() |
Координаты вектора в прямоугольном декартовом базисе имеют простой геометрический смысл. Возьмем произвольный вектор и перенесем начала векторов
и
в общую точку О, которая будет началом отсчета (рис. 7). Построим три оси:
, начало отсчета на которых точка О, а направление и масштаб задают векторы
и
соответственно. Получили прямоугольную декартовую систему координат. На рис. 7 приведено одно из возможных расположений вектора
: в первом октанте. Построим параллелепипед, у которого три ребра лежат на осях координат, а диагональю является вектор
. Тогда по правилу параллелограмма
,
где – проекция точки А (конца вектора
) на координатную плоскость
. Вектор
тоже можно разложить на сумму двух векторов по правилу параллелограмма:
.
Тогда разложение вектора по прямоугольному декартову базису
примет вид
, (5)
т.е. координатами вектора являются его проекции на соответствующие координатные оси (направления базисных векторов). Обозначим их и
соответственно, тогда
. Если вектор
расположен в другом координатном октанте, то некоторые из его проекций, а, следовательно, и координат, будут отрицательными.
Найдем координаты орта вектора в базисе
. Из формул (4) и (5) получаем
![]() |
=
Координатами вектора являются коэффициенты при базисных векторах. По теореме 1 отношение проекции вектора на ось к модулю вектора равно косинусу угла между осью и вектором, т. е.
, (6)
где α, β, γ – углы между соответствующими осями координат и вектором (рис. 8), косинусы этих углов называются направляющими косинусами. Таким образом, координатами орта являются направляющие косинусы
=
.
![]() |
Любую точку М в пространстве можно задать ее радиус-вектором
(рис. 9), и рассматривать координаты точки, как координаты ее радиус-вектора. Тогда произвольный вектор
можно представить как разность радиус-векторов
(рис. 9). Если известны координаты конца и начала
вектора (такие же координаты имеют соответственно векторы
и
), то по правилам линейных операций над векторами координатами вектора
будут
.
Итак, чтобы найти координаты вектора, надо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала.