Изображение периодического оригинала.
Теорема.Если -периодический оригинал с периодом
, то его изображение определяется по формуле
.
На практике же для нахождения изображения периодического оригинала вводят функцию
, которую представляют в виде
. Изображение этой функции обозначают
и находят с помощью рассмотренных ранее методов, а изображение функции
можно выразить по формуле
.
Примеры
1)Найти изображение последовательности единичных прямоугольных импульсов длительности повторяющихся с периодом
.
Решение. Изобразим последовательность импульсов:
Запишем оригинал и найдем изображение
,
,
2) Найти изображение “пилообразной” функции:
![]() |
Решение. Запишем оригинал и найдем его изображение:
3) Найти изображение следующей периодической функции:
Решение.
,
.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте теорему об изображении периодического оригинала
Примеры для самостоятельного решения.
Найти изображения следующих периодических функций:
1) | 2) |
![]() | |||
![]() |
3) | 4) |
![]() | 6) |
![]() | |||
![]() |
Ответы.1)
![Изображение периодического оригинала. Изображение периодического оригинала. - student2.ru](/images/kinematografiya/po-vypolneniyu-kontrolnoy-raboty-po-teme-289971-162.gif)
![Изображение периодического оригинала. Изображение периодического оригинала. - student2.ru](/images/kinematografiya/po-vypolneniyu-kontrolnoy-raboty-po-teme-289971-163.gif)
3) ; 4)
;
5) ;
.
Свертка. Изображение свертки.
Определение.Сверткой двух функций-оригиналов называется интеграл
.
Свертки обладают следующими свойствами:
1.
2.
3.
Теорема об изображении свертки.
Если и
, то
.
Примеры 1-6. Восстановить оригинал, используя определение свертки.
1)
Решение.
;
2)
Решение.
;
В следующих примерах для восстановления оригиналов будем использовать таблицу сверток, приведенную в конце пособия.
3)
Решение.
.
По таблице сверток находим, что
4)
Решение.
По таблице сверток находим, что это соответствует оригиналу .
5)
Решение.
По таблице сверток находим, что эта свертка соответствует оригиналу
6) .
Решение.
, а это соответствует оригиналу
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение свертки
2. Сформулируйте теорему об изображении свертки
Примеры для самостоятельного решения.
Восстановить оригиналы, используя свертку.
1) ![]() | 3) ![]() |
2) ![]() | 4) ![]() |
Ответы.
1) ![]() | 3) ![]() |
2) ![]() | 4) ![]() |
Восстановление оригиналов по изображению.
Заключительный шаг схемы применения операционного исчисления состоит в нахождении оригинала по полученному изображению, этот шаг или эту операцию называют обратным преобразованием Лапласа и символически записывают следующим образом: .
Раcсмотрим основные способы восстановления оригиналов по изображениям.
П.1 Восстановление оригиналов с помощью таблиц.
Этот способ является самым простым, но удобен в применении только, если изображение легко сводится к табличному виду элементарными преобразованиями.
Пример1. Найти оригинал изображения .
Решение.
Приведем к табличному виду
Пример 2. Найти оригинал изображения
Решение.
Приведем к табличному виду
По таблице получаем, что .
Пример 3. Найти оригинал изображения
Решение. Приведем к табличному виду:
Примеры для самостоятельного решения.
Найти оригинал изображения.
1)![]() | 3)![]() |
2)![]() | 4)![]() |
Ответы :
1) ![]() | 3) ![]() |
2) ![]() | 4) ![]() |