Уравнение для собственных функций оператора
Локализация
Точность локализации (задание x) обратна неопределённости импульса ( px), чем, кстати, объясняется ущербность понятия “траектория”.
Неопределённость энергии
Разные подходы:
1. При t – длительность самого измерения, ℇ увязывают с неопределённостью зафиксированной энергии .
2. Если t – временная неопределённость изменения физических величин объекта в замкнутой системе, тогда ℇ - неопределённость распределения энергии между частями конечного стационарного состояния. Отсюда следует неопределённость значений для энергетических уровней.
Не исключается и иные фундаментальные выводы.
§ 1.4 Основы математического аппарата К.Ф.
1.4.1. Пси-функция
Описание объекта посредством т.н. волновой “пси-функции”.
ψ(r,t) – однозначная и непрерывная функция координат, времени и некоторых других параметров.
Физический смысл ψ(r,t) следует из условия:
dw = ψ ψ*d 3r,
где d 3r = dx·dy·dz.
Из равенства полной вероятности достоверного события единице следует условие её нормировки:
= d 3r = 1 (1.4)
Для свободной частицы (1.4) приводит к расходимости, что трактуют как равенство вероятностей для локализации в любом состоянии.
1.4.2. Суперпозиция состояний и волн де Бройля.
Часто в одних условиях объект находится в разных состояниях (неодинаковы ψ – функции и значения их характеризующих величин).
Если ψ1 и ψ2 - две таких функции, описывающие систему (частицу) в отличных состояниях, то найдётся
Ψ = а1 ψ1 + а2 ψ2,
описывающая систему в обоих состояниях сразу. Причём │ а1│2 и │ а12│2
определяют вероятность пребывания в каждом из них. В более полном случае
Ψ =
Заметим, что волну де Бройля можно представить в виде суперпозиции гармонических волн (в виде ряда или интеграла, как в оптике).
Существенно для системы из двух невзаимодействующих систем, что если
Ψ1,2( , ) = ψ1( ψ22( ,
то │Ψ1,2( , ) │2= │ψ1( 1)│2 ·│ψ2( 2)│2
в силу независимости вероятностей.
1.4.3. Вычисление средних. Операторы
Средние значения физ. величин, измеряемых в опытах, находят с использованием математических операторов, преобразующих ψ – функции, включающие указанные величины, по определённым правилам. Основа нахождения средних диктуется наличием функции плотности вероятности, т.е. квадрата модуля волновой функции │ ψ │2.
Общее обозначение оператора физ. величины f есть - . Во многих случаях действие оператора сводится к дифференцированию, а иногда, просто к умножению на преобразуемую функцию. В результате возникает новая величина f – называемая собственным значением оператора.
ψ = f ψ .
При определении среднего интегрирование по всему пространству обеспечивает независимость от координат:
f = ) d 3r
Уравнение для собственных функций оператора
Если в состоянии ψn физ. величина f имеет одно значение fn и имеем , тогда неизбежно выполняется
ψn = fn ψn .
Говорят о собственных функциях и собств. значениях оператора.
Для среднего
f = ψn d 3r = fn
Часто у оператора в заданном интервале имеется спектр (набор избранных) собств. функций и соответственно собственных значений оператора.
1.4.4. Операторы некоторых ф. величин
1. Оператор скалярной функции координат равен самой функции
( ) φ( )
Примеры: координата, радиус-вектор, потенциальная энергия.
2. Оператор проекции импульса и вектора импульса
При свободном движении частицы вдоль оси х оператором величины px является x = - jħ , если ψp(x) = A ) – волна де Бройля.
x ψp(x) = px ψp(x)
Для вектора импульса соответственно:
= -jħ = - jħ ( x + y + z).
3. Оператор кинетической и полной энергии частицы
Имеем: ℇк = = + +
Т.к. 2 ψ = - ħ2 ψ = ψ
Тогда: = - [ + + ] = - =
Во внешнем поле
+ (r) = = - + (r)
Уравнение для получения собственных значений
ψ = ℇ ψ
Гл. 2 Уравнение Шредингера и его приложения
§ 2.1 Квантовое нерелятивистское уравнение движения
2.1.1. Временное уравнение
Задача заключается в нахождении уравнения, позволяющего определять не только ψ в момент to , но и в последующий момент: ψ(t)
Шредингер предложил ур-е:
j ħ =- + П ψ(x,t) (2.1, а)
для одномерного случая и
j ħ =- + П ψ( ,t) (2.1)
для трёхмерного случая. Оно похоже на волновое при П( ,t) = 0, причём здесь первая производная по времени.
ψ( ,t) – лишь математический способ описания дл нахождения вероятностей и физических величин.
2.1.2. Стационарное уравнение
В консервативном поле энергия частицы остаётся неизменной и потенц. энергия зависит только от координат - П( ), что позволяет взять пси функцию в виде волн де Бройля с ℇ = const
ψ(r,t) = ψ( )· (*)
(Сомножитель с одинаковыми ℇ выносится за знак суммы)
Подставляя в (2.1) и сокращая, получают:
- +(ℇ - П) ψ( ,t) = 0 (2.2)
Оно описывает состояния, называемые стационарными.
Отметим для них:
1). Временная часть (*) является гармонической ( = ω),
2). Вероятность местоположения не зависит от времени (│ψ│2 = const )
3). Уравнение (2.2) является ур. для собственных функций энергии.
§ 2.2 Общие свойства решений
2.2.1. Условия, накладываемые на пси-функции
Уравнение дифференциальное (!). Нужно из всех возможных решений выбрать те, которые удовлетворят физическому смыслу.
Общие свойства следующие:
1. ψ( ) – однозначная и непрерывная функция координат.
2. ψ( ) – конечна или где-то равна нулю. │ψ│2
3. Сама ψ( ) и её производные должны быть непрерывны. Это даже вытекает из самого ур-я.
Условия называются стандартными.
Методика решения (2.2) исходит из вида П( ): желательно использование простых зависимостей, что достигается разделением интервала значений на характерные участки интегрирования (оно неизбежно). Подбор постоянных интегрирования также важный момент.
Значения функций и их производных на границах этих участков обязаны совпадать (сшиваться):
Например: ψI(l)│l-0 = ψII(l)│l+0
( )I│l-0 =( )II│l+0
Наконец, оставляем те ψ, которые ведут себя на выделенном участке хорошо при r .
Используем условие нормировки, чтобы получать разумные │ψ│2 .
d 3r = 1
Тем самым определяется амплитудный коэффициент при ψ .
§ 2.3 Свободное движение частиц
Плоская волна де Бройля вдоль оси ОХ:
ψp(x) = A )
Здесь ℇ ничем не ограничено (любое положительное), │ψр│2 = const
т.к. все точки эквивалентны. Уравнение Шр. для такого движения при
П(х) =0 приобретает вид:
+ ℇ ψ = 0 (2.3)
Или
+ k2 ψ =0 (2.3, a)
Его общее решение
ψ = Аe jkx + Вe – jkx (2.4)
Здесь k2 = ℇ Þ ℇ = =
Иначе, стационарное решение
ψ = Аe jpx/ ℏ + Вe - jpx/ ℏ (2.4, a)
Если принять, что частица движется слева направо и положить В = 0, то выходим на совпадение с выражением для волны де Бройля. Спектр значений для ℇ является непрерывным пока движение не ограничено замкнутостью объёма. Доступное значение ℇ всегда больше Пmin. Состояния с ℇ 0 соответствуют локализации частицы.
§2.4 Потенциальный барьер
Если на зависимости П(x) в силовом поле имеется перепад (см рис.), то на частицу, двигающуюся вдоль оси ОХ действует сила. Говорят о потенциальном барьере. Сила F = - для налетающей слева – направо частицы с кин. энергией ℇ тормозит частицу в классическом понимании и в точке x=xo она отразится от барьера (точка поворота).
Для случая ступенчатого барьера F .
2.4.1 Ступенчатый барьер конечной высоты
Пусть П(х) =0 в области I и П(х) = По в области II.
Случай ℇ По
Квантовое решение задачи с использованием ур. Ш. даёт новые, принципиальные результаты:
В области I (x ), имеем, как и для свободной частицы две волны – падающую и отражённую:
ΨI = Аe jkx + Вe – jkx
Их суперпозиция – стоячая волна. Плотность вероятности испытывает осцилляции - интерференционный эффект. В классике этого быть не может.
В области II (x
+ (ℇ - По) ψ =0 (2.5)
Или:
– δ2 ψ = 0 , где δ =
Его решение:
ΨII = Сe - δx + De δx (2.6)
Реальному физическому смыслу отвечает только условие D = 0.
Используя условия для ψ на границе областей можно получить:
A = , B = 1, C =
Видно, что
1) ψ – функция определяется значением ℇ;
2) можно убедиться, что ΨI представляет стоячую волну.
ΨI = G cos (kx + φ), где G и φ – постоянные.
Падающая волна отражается от барьера, однако частица с неравной нулю вероятностью может быть обнаружена в области x .
Коэфф. отражения определяют как
R = = │ │2 ,
где α1 = │ΨI,пад│2 и α2 = │ΨII,отр│2
По мере роста высоты барьера ΨII → 0 и частица с меньшей вероятностью проникает в область II.
Случай По ℇ
Частица совершает над барьерное движение
ΨII = e – jℜ x Здесь ℜ =
R = ( )2 1
В месте разрыва непрерывности потенциала всегда происходит частичное отражение и частичное проникновение в область за разрывом.
2.4.2.. Прямоугольный барьер. Туннельный эффект
Три области (см. рис.)
Область I (П=0)
Получим: ΨI = e – jkx + Be jkx ,
где В определяет амплитуду отражённой волны, k = .
Область II (По )
Внутри барьера волна затухает
ΨII De – δx , δ = (2.7)
Повторным отражением в точке а можно в принципе пренебречь.
Область III (П=0)
Здесь существует бегущая волна
ΨIII De – δa e – jkx
Вводят коэфф. пропускания барьера Т:
Т = = e – 2δa = exp (-2a ), (2.8)
т. к. знаменатель принимается равным 1. Прохождение частицы через барьер носит название туннельного эффекта.
§ 2.5 Частица в потенциальном ящике
(яме с бесконечно высокими стенками)
Три области по оси ОХ. В обл. I и III По → , в II потенц. э. П=0.
Стационарное ур. Ш. сходно в обл. II со случаем свободного движения.
В интервале 0 х а
ψ (х) = Аe jkx + Вe – jkx
Условия на границе x =0 дают: А + В =0 Þ А = В, что обеспечит возникновение стоячей волны
ψ (х) = Ао sin kx. Здесь k = .
При x =a обязано быть Ао sin kа= 0, или ak =n π, n= 1, 2, 3…
Подставляя k получают вид функции и избранные значения энергии
Ψn (х) = Ао sin x (2.9)
ℇn = = – э. дискретна, n – квантовое число.
Амплитуда находится из условия нормировки и одинакова Ао =
Вид функции Ψn (х) разных состояний и плотностей вероятности приведен на рис.
Самостоятельно ознакомьтесь с трёхмерной ямой и пологим барьером.
Гл. 3 КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. МОМЕНТ
ИМПУЛЬСА.
§ 3.1 Гармонический осциллятор
Электромагнитное поле можно рассматривать как совокупность некоторых осцилляторов. В этой связи рассмотрим квантование движения одномерного гармонического осциллятора с потенциальной энергией
П(x) = = m ,
где ωo = .
Стационарное уравение Шр. имеет вид:
+ (ℇ - m ) ψ =0
В этом случае при ℇ > П(х) решение представляет осциллирующую стоячую волну. В основном состоянии ψ(х,t) не имеет узлов, а в каждом последующем число их растёт на единицу.
За пределами классических точек поворота xn = функция ψn убывает по экспоненте и решение ищут в виде функции Гаусса.
Опуская детали, отметим не выходя на полиномы Эрмита:
энергия состояний осциллятора квантована
ℇn = (n+ ) ħωо, n = 0, 1, 2, …
Уровни эквидистантны и при n = 0 энергия конечна и не равна нулю. Её называют энергией нулевых колебаний. Эти результаты присущи только квантовому решению и играют выдающуюся роль (при квантовании электро-магнитного поля).
§ 3.2 Момент импульса в квантовой физике
3.2.1. Особенности задания м.и.
При движении в трёх измерениях важнейшей величиной оказывается момент импульса
= [ ]
Для электрона в атоме, испытывающего вращение и смещения, эта характеристика незаменима.
Эта величина сохраняется при движении в центрально симметричном поле или в изолированной системе.
В класс. механике собственным моментом может обладать только система частиц, в квантовой он присущ и отдельным частицам.
Собственный момент частицы называют спином и он - важнейшее её свойство.
Момент импульса квантовой частицы не может быть задан с одновременным определением всех трёх проекций типа Lx (следствие соотношения неопределённостей Гейзенберга). Обычно задают одну из них - Lz и модуль вектора │ │. Наглядность выбора более понятна при использовании цилиндрической системы координат. В них:
Lz = ρpφ ; Lx = ypz = ρ sin φ· pz ; Ly = -xpz = ρ cos φ· pz
L = ρ
3.2.2. Квантование момента импульса
Выясним спектр собственных (доступных) значений для стационарных состояний. Сама ψ(r,t) должна одновременно удовлетворять двум уравнениям на собст. значения
z ψ = Lz ψ (3.1)
2 ψ = L2 ψ (3.2)
Решения дают зависимость ψ от угловых переменных в состояниях
= const.
z = ρ φ = - jℏ ρ = - jℏ
Общим решением является
ψ(r, θ) = А(r, θ) e( Lz·φ/ℏ) = A exp(jmL φ)
Оно имеет вид бегущей волны де Бройля, где можно полагать pφ = ℏkφ
Во-первых
ψ (φ + 2 π) = ψ (φ),
Во-вторых
Lz = m ℓ ℏ, где m ℓ mL = 0, 1, 2, 3… - квантовое число
│m ℓ │ l
Спектр значений его: - ℓ, - ℓ +1, - ℓ +2… -1, 0, +1, …. ℓ -1, ℓ
всего 2 ℓ +1 зачений.
§ 3.3 Квадрат орбитального м.и. (3.3.1.) Результирующий момент
3.3.1. Квадрат м.и.
Решение (3.2) является сложной процедурой. Обсудим следствия.
Поскольку L2 и Lz могут заданы одновременно, они соответственно должны определяться через квантовое число ℓ. Т.к. Lz 2max. =ℏ2 ℓ 2, то разумно положить, в силу того, что ℓ целое
L2 = ℏ2ℓ(ℓ +1) (3.3) ,
ℓ = 0, 1, 2… , см. рис.
Квантовое число ℓ называют орбитальным. Оно определяет все угловые хар-ки движения, в том числе и Lz.
По определению: L2 = L2 и L x2 = L y2 = L z2
3.3.2 Сложение моментов и.
Нужно учесть, что результирующий (суммарный) м.и. находится из векторного сложения i . Для модуля итогового вектора по-прежнему
L =ℏ и L z =ℏMz
L – квантовое число результирующего момента при заданных числах ℓ 1 , ℓ 2 , ℓ 3 ,… Для определения L достаточно знать LmaxиLmin . В этом случае
Lmax = . Для двух частиц Lmax = ℓ 1+ ℓ 2 Lmin = │ ℓ 1- ℓ 2│.
L может принимать такие значения:
ℓ 1+ ℓ 2, ℓ 1+ ℓ 2-1, ℓ 1+ ℓ 2-2, …., │ ℓ 1- ℓ 2 │
всего 2 ℓ m +1 значений, где lm меньшее из двух ℓ 1 и ℓ 2 .
§ 3.4 Орбитальный магнитный момент (3.4.1). Спин микрочастиц (3.4.2)
3.4.1.
Из класс. физики известна связь орбитального момента импульса и магнитного момента
m = g = , где g – т.н. гиромагнитное отношение.
Тогда с учётом квантования и установленных соотношений для проекции магнитного момента имеем:
mz = - Lz = - mℓ ℏ = μБ m ℓ
Величину μБ назвают магнетоном Бора, это квант магнитного момента микрочастиц
| μБ = |
Поэтому квантовое число m ℓ называют магнитным.
3.4.2 Спин частиц
Спин – собственный механический момент импульса частицы или системы ч.
Обозначают . Открыт Уленбеком и Гаудсмитом.
Доступные значения спина определяются так:
│ │ = ℏ , Sz = ℏ m s
Под корнем маленькое s – квантовое число или просто спин.
- s s
Так s = для: электрона, протона, нейтрона
Для фотона s = 1, для мезонов s = 0.
Спин характеризует некоторую неизменную внутреннюю симметрию частиц данного сорта. Проекцию спина на ось z определяет .
Cо спином связан собственный магнитный момент частиц:
μz = - .
Отношение магнитного и соответствующего механического моментов в случае спина вдвое больше, чем для орбитального:
( μz /Sz) : (pm /Lz ) =2
Релятивистское волновое уравнение приводит к появлению спина естественным путём. Сделаны опыты (Эйнштейн- де Хаас), подтвердившие приведенные положения. Спиновая переменная – важнейший параметр для
волновой функции ψ( ,s,t).
Частицы с полуцелым спином называют фермионами, а с целым – бозонами.
Первые подчиняются принципу Паули: в состояниях с одинаковой энергией не может находится более двух одинаковых частиц, однако их спины противоположны (разного знака).
Говорят о тождественности квантовых частиц. Пространственная перестановка их местами (скажем, есть отличие в значении спина) не изменяет квадрат модуля волновой функции.
Свойство
ψ(ξ1, ξ 2) = + ψ (ξ2, ξ 1) - определяет симметричную функцию
ψ (ξ1, ξ 2) = - ψ(ξ2, ξ 1) - определяет антисимметричную функцию
Частицы с полуцелым спином описываются антисимметричными функциями.
Гл.4 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ АТОМОВ И ИОНОВ
Это очередной шаг к более сложным системам.
§ 4.1 Водородоподобные атомы. Постановка задачи
Полезно т.н. одноэлектронное приближение – избранный электрон и остаток = ядро + усреднённое облако остальных электронов.
1. Учитывают, что приведенная масса электрона близка к его истинной массе.
2. Электрон не является релятивистским, т.е. применимо стационарное ур. Шр.
3. Основным является электростатическое (кулоновское) взаимодействие с ядром
П ( ) = - k , где k =
4. Спин не следует из решения.
§ 4.2 Уравнение Шредингера и анализ решения
4.2.1 Решение ур- я
ψ = ℇ ψ
- ψ - k ψ = ℇ ψ
В сферической системе координат ψ( ) = ψ(r, θ, φ)
Если рассматривать кин. энергию как сумму эн. радиального движения и вращательного движений, то упрощаем решение
ℇк = ℇп + ℇвр = +
Имеем:
[ℇп + + П (r)] ψ = ℇ ψ
Т.к. L сохраняющаяся величина в силу ур. (3.2 )
2 ψ = ℏ2ℓ(ℓ +1) ψ
Тем самым, угловая зависимость уже заложена, а зависимость от радиуса её следует установить. Полагаем
Ψ = ℜ (r) Y(θ, φ)
Для радиальной волновой функции получим
- ( ) + [ - k ]ℜ = 0 (4.1)
Здесь первая часть формулы – результат применения лапласиана и потенциал наш уже некий эффективный (квадратная скобка).
Конечные и однозначные решения получаются при дискретных ℇ 0 , равных
ℇn =- = - ,
ℇn = - , (4.2)
где - некая постоянная (название связывают с Ридбергом), n – главное квантовое число, nr = 0,1, 2, 3 – радиальное квантовое число (не в ходу оно).
При заданном n энергия от nr и ℓ не зависит, а магнитное кв. число mℓ не появляется.
Поскольку при заданном n состояния по ℓ, разные но с одной энергией, их называют вырожденными. У орбитального числа всего n значений
ℓ = 0, 1, 2, … , n –1
С учётом введения состояний с разными mℓ
mℓ = - ℓ, - ℓ+1, - ℓ +2, … -1, 0, +1, +2,…, ℓ-1, ℓ,
полная кратность вырождения равна n2 . Более того, она удвоится, когда вспомним о спине: всего 2 n2 состояний по энергии при заданном n, а это число может изменяться от 1 до бесконечности.
4.2.2 Диаграмма энергетических уровней атома водорода
Набор значений энергии при Z =1 легко получить, исходя из того, что
= 13,6 эВ (см. рис.).
Однако, она может усложнится и стать нагляднее, если отложить уровни с привязкой к состояниям по ℓ:
ℓ = 0, s - состояние
ℓ = 1, p- состояние
ℓ = 2, d - состояние
ℓ = 3, f - состояние
ℓ = 3, g – состояние
. . . . . . . .
Для каждой «чёрточки» такое расщепление можно устроить по mℓ и ms .
§ 4.3 «Радиальное уравнение» и волновые функции
4.3.1 Анализ радиального уравнения
Уравнение (4.1) при n =1 и ℓ = 0 имеет вид:
- [ + ] – (ℇ1 + k ) = 0, (4.3)
Где обозначено ℜ10
Решением может быть простая экспонента, поскольку при r →0 второе и четвёртое слагаемые стремятся к нулю.
= A1 exp[- ( r/ao)]
Ур. (4.3) станет тождеством, если:
ao = - т.н. боровский радиус,
ℇ1= - = - - энергия основного уровня электрона.
→0 при r →0 и не имеет узлов.
С другой стороны в классическом понимании движение здесь – качание маятника относительно силового центра. Необычный результат.
4.3.2 Волновые функции состояний (орбитали)
Для n =2, ℓ =0
= A2 (1- r/2ao) exp[- ( r/2ao)]
Эта функция уже имеет один узел.
При ℓ 0 появляется угловая зависимость.
Так, при n = 2 и ℓ = 1, mℓ = 0 выражениe для орбитали таково:
= A2,1 ·(r/ao) exp[- ( r/2ao)]· cos θ
При n = 2 и ℓ = 1, mℓ = следующие орбитали:
= A2,1,1 ·(r/ao) exp[- ( r/2ao)]· sin θ ·
Число узлов по радиусу остаётся прежним, но возникает один узел по углу.
Вероятность обнаружения электрона даётся выражением
dw = │ψ│2 4 r2 ·dr
См. на рис. изменения вероятности с расстоянием.
§ 4.4 Многоэлектронные атомы
4.4.1 Общие особенности
Качественные рассуждения уже могут дать полезные выводы.
Заметим, что:
а) Только два электрона могут описываться одной орбиталью, чтобы удовлетворялся принцип Паули;
б) электроны-соседи влияют друг на друга; имеет место экранирования ядра.
В последнем случае вводится эфф. заряд ядра Zeff . Z
Водород (Z =1)
Единственный электрон в состоянии 1s, потенциал ионизации 13,6 эВ, наличие спина мало сказывается в первом приближении. Тонкая структура возбуждённых уровней обуславливается взаимодействием собственных магнитных спинового и орбитального моментов (появятся дублеты).
Гелий (Z =2)
В случае одного электрона, т.е. для иона, «работает» модель водороподобного атома
Энергия ионизации
ℇи = - =13,6 · = 54 эВ,
что близко к опытным данным.
В атоме гелия электроны как бы видят ядро с зарядом Z* Zeff = Z - σ , где
σ = у них одинаковая орбиталь, волновая функция при n = 2 имеет один узел.
Оболочка из двух электронов замкнутая.
Литий (Z =3)
Эффективный заряд σ = 1,25. Третий электрон относительно слабо связан с ядром, его называют валентным. Его основное состояние 2s. Все состояния с одинаковыми n и ℓ называются подоболочкой. Третий электрон попадает в p - состояние.В принципе, в р – состоянии может находится 2(2ℓ +1)= 6 электронов. Их общее число в оболочке n =2 не более
2 +6 = 8.
Список можно продолжить. Картина будет усложняться, а главное необходимо вводить квантовые числа для атомной системы с большим числом электронов.
4.3.2 Диаграммы переходов и правила отбора
Важно, что при излучении (поглощении),связанном с квантовыми переходами, долен выполняться закон сохранения импульса наряду с законом сохр. энергии.
Правила отбора состоят в том, что переходы разрешены при
ℓ = 1
В многоэлектронных атомах также
L = 1 и S =0. Значения суммарного момента импульса J изменяются на единицу: J = 1, переходы между состояниями с J = 0 запрещены. Есть особые отклонения, их детализировать сйчас не будем.
ψ(r,t) f fn x ( )I│l-0 =( )II│l+0 │ψ│2
d 3r = 1 L L L m ℏ2ℓ(ℓ+1)
υ2 = υг = φ = (2m +1) π φ = 2πm ħω ħω hν ħ ħ
ψn ψ*n
П ψ(x,t) j ħ -
ψ → ω → = υ2
δ = ωo2 = cos Σ
Þ ^ > < α φ q φo β ω ωо 2 π ψ (x,t) x k
§ ℓ δ λ φ ε θ α π υ ν ω τ μ ψ ρ ∙ § ΄ Мz γ σ ℓ
→ ∶ § π tg φ ψ → ω → t μ μо εoε ∠
δ = ωo2 = cos(ωt + φo) sin (ωt + φo) sin2
е- δt ω = εm рез Cambria Math (буквеподобные сим.)
ħ const