Свойства частиц и взаимодействий 9 страница

Аналогичный вид имеют диаграммы рассеивания _e на u-кварке и электроне.

30. Из характеристик переносчиков слабого взаимодействия и Z бозонов определить радиус слабых сил.

Массы W и Z бозонов: m_W 80 ГэВ/c², m_Z 90 ГэВ/c². Радиус действия слабых сил a_W связан с массой переносчиков взаимодействия W и Z бозонов соотношением:

(*),

следующими из соотношения неопределенности E t . Действительно, нарушение закона сохранения энергии на величину E = m_W c² m_Z c² ненаблюдаемы в течение временных интервалов

t< / E /m_W c² /m_Z c².

Откуда следует (*). Так как m_W m_Z 100 ГэВ/c², имеем

a_W 0.2 ГэВ Фм/100 ГэВ = 2 10^-3 Фм.

31. Протон, поглощая фотон, переходит в ⁺. Определить тип, мультипольность и энергию фотона.

Протон р и ⁺ имеют массы
m_p = 938,3 МэВ/c², = 1232 МэВ/c² и спины-четности J^P(p) = 1/2⁺, J^P( ⁺) = 3/2⁺. Характеристики фотона получаются из законов сохранения полного момента количества движения и четности (процесс электромагнитный):

;

или

;

Откуда J = 1 или 2, а = +1. Поэтому, рассматриваемый в задаче процесс осуществляется М1 и Е2-фотонами. Энергия фотона

= c² - m_pc² = (1232 - 938) МэВ 300 МэВ.

32. Какая энергия нужна для "переворота" кварка в нуклоне?

Рассмотрим протон р и ⁺. Обе частицы имеют одинаковый кварковый состав u u d и нулевой результирующий орбитальный момент кварков. Но у протона спин d-кварка противоположен спину u-кварков, а у ⁺ спины всех кварков направлены в одну сторону: p = u u d ( ), ⁺ = u u d ( ). Таким образом от протона к ⁺ можно перейти, изменив направление спина d-кварка, то есть "перевернув" его. Для перехода протона в ⁺ требуется энергия около 300 МэВ, то есть для "переворота" кварка в протоне нужна энергия около 300 МэВ.

33. Определить магнитные моменты u и d-кварков в ядерных магнетонах, считая, что их масса равна 1/3 массы нуклона.

Всякая точечная заряженная частица со спином 1/2, массой m и зарядом q имеет величину собственного магнитного момента

.

Исходя из этого, для u и d-кварка соответственно имеем:

где - ядерный магнетон.

34. Могут ли топ-кварк ( t ) и его антикварк ( ) образовать связанную систему t - топоний, аналогичную чармонию (с ) и ботомонию (b )?

О связанной системе кварков можно говорить лишь в том случае, когда она существует в течение времени большем, чем требуется частице со скоростью света для преодоления расстояния 1 Фм (размер адрона), то есть

10^-13 см / 3 10¹⁰ см/с 10^-23 10^-24 сек.

Топ-кварк имеет ширину распада Г_t 2 ГэВ, откуда время жизни топ-кварка

t _t /Г 6.6 10^-22 МэВ с / 2 10³ МэВ = 3,3 10^-25 сек,

то есть слишком мало, чтобы он успел образовать связанную систему t .

35. Показать, что для частиц октета легчайших барионов с J^P = 1/2⁺ выполняется следующее правило: у кварков одинакового аромата спины параллельны.

Волновая функция бариона (системы из трех кварков) может быть записана в следующем виде

(1,2,3) = (К З С) (r1 r2 r3) (s1 s2 s3) (I1 I2 I3)

(*)

где 1, 2, 3 - совокупность всех координат и квантовых чисел кварков, а произведение четырех функций справа - это произведение соответственно цветовой (К - красный, З - зеленый, С - синий), пространственной, спиновой и изоспиновой частей волновой функции бариона. (1, 2, 3) должна быть антисимметрична в целом к перестановке всех квантовых чисел и координат двух тождественных кварков (кварки u и d остаются тождественными, поскольку составляют изоспиновой дублет). При этом цветовая, пространственная, спиновая и изоспиновая функции в отдельности могут быть как симметричными (s), так и антисимметричными (a). (К З С) всегда антисимметрична, так как кварки в барионе разноцветны. Для легчайших барионов орбитальные моменты кварков l = 0 и пространственная функция (r₁ r₂ r₃) - симметрична. В этом случае (*) переписывается в виде

a(1, 2, 3) = a(К З С) s(r1 r2 r3) (s1 s2 s3) (I1 I2 I3)

(**)

Отсюда следует, что в супермультиплетах легчайших барионов (например, октете J^P = 1/2⁺ и декуплете J^P = 3/2⁺) допустимы лишь такие кварковые комбинации, у которых спиновая и изоспиновая функции одновременно либо симметричны, либо антисимметричны, то есть спиново-изоспиновая функция либо
_s(s₁ s₂ s₃) _s(I₁ I₂ I₃), либо _a(s₁ s₂ s₃) _a(I₁ I₂ I₃).

Рассмотрим теперь протон (u u d). Запишем (**) в виде

a(u u d) = a(uК uЗ dС) s(ru ru rd) (su su sd) (Iu Iu Id).

Переставим u-кварки. Изоспиновая функция к таким перестановкам симметрична. Значит должна быть симметрична и спиновая функция. Это означает, что спины u-кварков обязаны быть параллельными. Спин d-кварка антипараллелен спинам u-кварков, чтобы результирующий момент протона (его спин) был равен 1/2. Итак, (s_u s_u s_d) = ( ). Эту ситуацию можно изобразить и так: . Аналогично рассуждая, можно получить , , .

36. Показать, что в супермультиплете легчайших барионов 1/2⁺ не может быть частиц, состоящих из кварков одинакового аромата u u u , d d d , s s s.

Рассмотрим комбинацию u u u. Пусть у зеленого и красного кварков спины параллельны:

_a(u u u) = _a(u_К u_З u_С) _s(r_u r_u r_u) ( ) (I_u I_u I_u).

Изоспиновая функция симметрична к перестановке любой пары u-кварков. Поэтому симметричной обязана быть и спиновая функция. Однако, она антисимметрична к перестановке тех u-кварков, у которых спины антипараллельны. Таким образом, комбинация из трех одинаковых по аромату кварков в супермультиплете барионов 1/2⁺ ( l = 0) запрещена.

37. Как направлены спины кварков в и ⁰?

Обе частицы имеют один и тот же кварковый состав u d s и входят в октет легчайших барионов с J^P = 1/2⁺. Рассмотрим . Ее изоспин равен нулю, то есть изоспиновая волновая функция антисимметрична к перестановке имеющих изоспин кварков u и d. Поэтому спиновая волновая функция так же обязана быть антисимметричной к перестановке u и d-кварков, откуда следует, что спины этих кварков в антипараллельны, а направление спина s-кварка произвольно, например .

Рассмотрим ⁰. Это частица с изоспином 1, то есть ее изоспиновая волновая функция симметрична к перестановке несущих изоспин кварков u и d. Поэтому симметричной к такой перестановке будет и спиновая функция. Это означает, что спины u и d-кварка в ⁰ параллельны, а спин s-кварка направлен в противоположную сторону: .

38. ⁰-гиперон распадается следующим образом: ⁰ + . Как меняются кварковые состояния при этом распаде? Определить тип и мультипольность испущенного фотона. Как направлен спин , если спин ⁰ направлен вверх?

⁰ и имеют одинаковый кварковый состав uds. Спины кварков в этих частицах направлены следующим образом: , . Отсюда следует, что при распаде ⁰ с излучением фотона "переворачивается" один из кварков (в данном примере d-кварк; направление его спина меняется на противоположное). Спин-четность ⁰ равны 1/2⁺. Таковы же и спин-четность . Откуда спин- четность излученного фотона 1⁺ , то есть излучается М1-фотон. Если до распада спин ⁰ был направлен вверх, то спин будет направлен вниз.

39. Показать, что кварк, испустив глюон, не может перейти в антикварк.

Пусть кварк имеет красный цвет. Тогда диаграмма предполагаемого условием задачи процесса имеет вид:

Поскольку имеет место закон сохранения цвета, то цветовая структура глюона g может быть получена из следующих равенств:

К = + g,
К = + g,
К = + g,

откуда g = КК, КЗ или КС, что, очевидно, невозможно для глюона, поскольку последний должен иметь структуру цвет-антицвет.

40. Что можно сказать об электрическом квадрупольном моменте протона, нейтрона и других адронов?

В статической кварковой модели протон (нейтрон) состоят из трех кварков с нулевыми орбитальными моментами l = 0, то есть описываются сферически симметричными волновыми функциями. Поэтому электрические квадрупольные моменты протона и нейтрона должны быть равны нулю. Отличные от нуля электрические квадрупольные моменты могут быть у адронов, в которых кварки имеют l 0.

41. Одна из следующих двух диаграмм, описывающих распад n + ⁰ неправильна. Какая?

Неправильная диаграмма справа. Z-бозон фигурирует в нейтральных слабых токах, не меняющих ароматы кварков, т.е. никаких связанных с кварками квантовых чисел. В правой диаграмме испускание Z-бозона сопровождается переходом s-кварка в d, при котором изменяется странность и изоспин.

42. Возможно ли рассеяние нейтрино на электроне с участием 1) нейтрального слабого тока; 2) заряженного слабого тока? Положительный ответ сопроводить диаграммой процесса.

В нейтральных слабых токах переносчиком взаимодействия является Z-бозон, в заряженных слабых токах - . Оба вида рассеяния возможны и их диаграммы следующие:

43. Барионы ^- и ^- имеют близкие массы (соответственно 1197 и 1232 МэВ/с²) и распадаются одинаково:

^- n + ^-,
^- n + ^-.

За счет каких взаимодействий происходят эти распады? Нарисовать их кварковые диаграммы и оценить константу _w слабого взаимодействия, полагая константу сильного взаимодействия _s 1.

^- распадается за счет слабого, а ^-- за счет сильного взаимодействия. В первом случае не сохраняется странность и изоспин, а во втором все квантовые числа сохраняются.

Диаграммы распадов:

Времена жизни ^- и ^- следующие: ( ^-) = 1.5 10^-10 с,

Время жизни t связано с константой распада в случае двухузловых диаграмм соотношением

откуда

.

Полагая _s 1, имеем _w 10^-6.

44. Одна из реакций ассоциированного рождения странных частиц ^- + p + K⁰ происходит за счет сильного взаимодействия, т.е. за время ~10^-23. Каждая из рожденных странных частиц и K⁰ распадается за счет слабых сил за время ~10^-10 сек. Из этих данных получите отношение констант слабого и сильного взаимодействий _w / _s.

Основными диаграммами рождения и распада странных частиц являются двухузловые диаграммы. Поэтому величина _w / _s может быть найдена из соотношения

Откуда _w / _s 10^-6.

45. Почему отсутствие распада K^{+ +} + можно рассматривать как указание на нулевой спин K⁺–мезона?

Спин мезона ноль или целочислен. Если бы спин K⁺ был бы не равен нулю, например, 1, то из закона сохранения момента количества движения было бы (т.к. спин ⁺ равен нулю): и, поскольку четности K⁺ и ⁺ одинаковы, то возможно было бы излучение М1–фотона. При любом не равном нулю спине K⁺ можно было бы подобрать тип и мультипольность фотона, которые удовлетворяли бы законам сохранения момента и четности, и значит такой фотон должен был бы излучаться. Лишь в том случае, если спин K⁺ нулевой, излучение фотона запрещено, т.к. равенство для фотона невозможно поскольку его спин не может быть нулевым.

46. Определить относительный орбитальный момент p и ⁺, образующихся при распаде ⁺ p + ⁺.