Свойства частиц и взаимодействий 2 страница

Магнитные моменты ядер измеряются в ядерных магнетонах. Ядерный магнетон

N = e /2mpc,

где m_p - масса протона.
Магнитный дипольный момент системы нуклонов , где - орбитальный момент нуклона, - его спин, а сумма берется по всем нуклонам системы. Безразмерные константы g_l и g_s называются соответственно орбитальным и спиновым гиромагнитными отношениями.

	Протон	Нейтрон
gl	+1
gs	+5.586	-3.826

Состояние дейтрона с j = 1 может быть представлено суперпозицией S₁ и D₁ состояний с относительными орбитальными моментами L = 0 и L = 2. В случае L = 0 спины протона и нейтрона параллельны, а в случае L = 2 их векторы направлены противоположно вектору орбитального момента. В этом последнем случае орбитальный момент каждого нуклона l = ^L/₂ = 1 (см. рисунок).

Случай L = 0 (ln = lp = 0): = N(1 0 + 0 0 + 5.586 1/2 - 3.862 1/2) = 0,88 mN .
Случай L = 2 (ln = lp = 1): = N(1 1 + 0 1 – 5.586 1/2 + 3.862 1/2) = 0,12 N.

Обозначим вклад состояния с L = 2 как X. Тогда X 0,12 _N + (1 – X) 0,88 _N = 0,86 _N. Получаем X = 0.026. То есть вклад состояния с L = 2 в волновую функцию дейтрона составляет 2,6%.

3. Известно, что внутренний электрический квадрупольный момент Q₀ ядра ¹⁷⁵Lu равен +5.9 Фм². Какую форму имеет это ядро? Чему равен параметр деформации этого ядра?

Для равномерно заряженного аксиально симметричного эллипсоида, имеющего заряд Ze Q₀ = 2Z(b² - a²)/5, где b - полуось эллипсоида, направленная по оси симметрии Z, a a - по осям X и Y. Параметр деформации ядра

,

где = (b + a)/2 - средний радиус ядра. Тогда

.

Здесь учтено, что при малых деформациях R = r₀A^1/3. Так как Q₀ > 0, то b > a, и ядро представляет из себя эллипсоид вытянутый вдоль оси симметрии Z.

4. Внешний наблюдаемый квадрупольный момент ядра ⁸⁵Rb Q = 0.7 б. Определить собственный квадрупольный момент ядра Q₀, если спин ядра ⁸⁵Rb равен J = ⁵/₂.

Внешний наблюдаемый электрический квадрупольный момент ядра в лабораторной системе координат Q связан с собственным квадрупольным моментом ядра Q₀ соотношением

где J - спин ядра. Отсюда

5. Определить значения изоспинов I основных состояний ядер изотопов углерода ¹⁰C, ¹¹C, ¹²C, ¹³C, ¹⁴C.

В основном состоянии ядра значение изоспина I совпадает с модулем проекции изоспина I = | I_z |. Проекция изоспина I_z ядра, состоящего из Z протонов и N нейтронов, равна

.

То есть для основных состояний ядер I = |Z - N|/2.
Для указанных ядер значение изоспина будет:
для ¹⁰C - I = (6 – 4)/2 = 1,
для ¹¹C - I = (6 – 5)/2 = ¹/₂,
для ¹²C - I = (6 – 6)/2 = 0,
для ¹³C - I = (7 – 6)/2 = ¹/₂,
для ¹⁴C - I = (8 – 6)/2 = 1.

6. Рассчитать расстояние между уровнями 1s, 2s и 3s ядра ⁹⁰Zr для прямоугольной потенциальной ямы бесконечной глубины и ямы гармонического осциллятора.

В прямоугольной яме энергии уровней с l = 0 определяются соотношением:

,

где n - главное квантовое число, m - масса нуклона и R - радиус ядра (ширина ямы). Величина расстояний между уровнями 1s, 2s и 3s будет

= 3 ^x 7.3 МэВ = 22 МэВ

5 ^x 7.3 МэВ = 36.5 МэВ

В яме гармонического осциллятора выражение для энергии уровней с l = 0 определяется соотношением
E_n = ( 2n + 3/2 ), где = 41 A^1/3 = 41 ^x 90^1/3 = 9.1 МэВ для ⁹⁰Zr.
Расстояние будет = = 2 = 18.2 МэВ.

7. На основании одночастичной модели оболочек определить значения спинов и четностей J ^P основных состояний изотопов кислорода - ¹⁵O, ¹⁶O, ¹⁷O, ¹⁸O.

Изотопы ¹⁶O и ¹⁸O четно-четные, то есть имеют в основном состоянии спин и четность J^P = 0⁺. Спин и четность ядра ¹⁵O определяются "нейтронной дыркой" (по отношению к четно-четному ядру ¹⁶O) в состоянии 1p_1/2. Спин ядра J равен полному моменту "нейтронной дырки" в этом состоянии J = ¹/₂, а четность определяется орбитальным моментом l нуклона в данном состоянии P = ( -1 )^l = ( -1 )¹ = -1, то есть J^P = ¹/₂^-. Спин и четность ядра ¹⁷O определяется одним нейтроном в состоянии 1d_5/2 сверх четно-четного остова ядра ¹⁶O. Для ядра ¹⁷O J^P = ⁵/₂⁺.

8. Показать, что спектр возбужденных состояний деформированного ядра ¹⁸⁰Hf представляет собой "вращательную полосу".

Для четно-четных деформированных ядер энергия вращательных состояний

,

где J - спин состояния, который принимает лишь четные значения J = 0, 2, 4, …, I - момент инерции ядра. Отношение энергий уровней должно быть следующим:
E₂ : E₄ : E₆ : E₈ = J₂(J₂ + 1) : J₄(J₄ + 1) : J₆(J₆ + 1) : J₈(J₈ + 1) = = 2(2 + 1) : 4 (4 + 1) : 6(6 + 1) : 8 (8 + 1) = 3 : 10 : 21 : 36.
Подставим приведенные на рисунке значения энергий и получим:
E₂ : E₄ : E₆ : E₈ = 93 : 307 : 637 :1079 = ⁹³/₃₁ : ³⁰⁷/₃₁ : ⁶³⁷/₃₁ : ¹⁰⁷⁹/₃₁ = 3 : 9.90 : 20.55 : 34.81.
Полученные отношения, а также отсутствие в спектре в спектре уровней с J = 1, 3, 5, … указывают, что это "вращательная полоса" ядра.

9. На схеме показан спектр возбужденных состояний ядра ¹⁰⁶Pd. Оценить энергию первого возбужденного состояния 2⁺.

Это типичный спектр квадрупольных колебаний сферически симметричного ядра, имеющего в основном состоянии J^P = 0⁺. Квадрупольные колебания атомных ядер характеризуются фононом J^P = 2⁺. Положение энергетических уровней определяется числом фононов N: E_N = (N + 5/2) , где - энергия квадрупольного фонона. На рисунке есть только два уровня с J^P = 2⁺, нижний (искомый) уровень имеет N = 1, а второй N = 2.
Тогда E₀ = ⁵/₂ , E₁ = ⁷/₂ , E₂ = ⁹/₂ .
Энергия второго 2⁺ - состояния
E₂ - E₀ = (⁹/₂ - ⁵/₂) = 2 =1.127 МэВ.
Энергия первого (искомого) 2⁺-состояния
E₁ - E₀ = (⁷/₂ - ⁵/₂) = = 0.564 МэВ.
Для спектра квадрупольных колебаний четно-четных ядер имеющих в основном состоянии характерными особенностями являются следующие:

1. Первое возбужденноое состояние имеет J^P = 2⁺.
2. При энергиях возбуждения, вдвое превышающих энергию первого возбужденного состояния должны находятся три состояния с примерно одинаковой энергией и имеющих квантовые характеристики J^P = 0⁺, 2⁺, 4⁺, что соответствует сумме двух квадрупольных фононов 2⁺.

Радиоактивный распад

1. Активность препарата ³²P равна 2 мкКи. Сколько весит такой препарат?

Закон радиоактивного распада:

,

где N₀ - количество радиоактивных ядер в произвольно выбранный начальный момент времени t = 0, N(t) - количество радиоактивных ядер, не распавшихся к моменту времени t, - постоянная распада (вероятность распада в единицу времени). N - активность (интенсивность излучения) радиоактивного препарата, измеряется в Ки, 1 Ки = 3.7 10¹⁰ распадов/с. T_1/2 - период полураспада данного ядра (время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается в два раза) равен для ³²P 14.5 суток. Период полураспада T_1/2 связан с постоянной распада соотношением T_1/2 = ln 2/ .
Количество ядер в образце массой m грамм

где N_A - число Авогадро, A - массовое число. Активность препарата

тогда его масса будет

= 7.1 10^-12 г.

2. Во сколько раз число распадов ядер радиоактивного иода ¹³¹I в течение первых суток больше числа распадов в течение вторых суток? Период полураспада изотопа ¹³¹I равен 193 часам.

Из закона радиоактивного распада N(t) = N₀ следует, что в течение первых суток (первых 24 часов) распалось ядер.
В течение вторых суток распалось ядер.
Отношение числа распадов за первые сутки к числу распадов за вторые сутки , где T_1/2- период полураспада ¹³¹I в часах, связанный с соотношением T_1/2 = ln2/ = 0.693/ .
Окончательно .

3. Определить энергию W, выделяемую 1 мг препарата ²¹⁰Po за время, равное среднему времени жизни, если при одном акте распада выделяется энергия E = 5.4 МэВ.

Количество ядер радиоактивного препарата за среднее время жизни уменьшается в e = 2.718 раз. Тогда количество распавшихся за это время ядер будет D = 1 - 1/2.718 = 0.632 от их первоначального числа. Начальное число ядер Nв образце массой m грамм определяется из соотношения N = mN_A/A, где N_A - число Авогадро, A - массовое число. Количество энергии, выделившейся за время, равное среднему времени жизни изотопа ²¹⁰Po

.

4. Определить верхнюю границу возраста Земли, считая, что весь имеющийся на Земле ⁴⁰Ar образовался из ⁴⁰K в результате e-захвата. В настоящее время на каждые 300 атомов ⁴⁰Ar приходится один атом ⁴⁰K.

Число нераспавшихся к настоящему времени ядер ⁴⁰K

,

где N₀ - начальное число ядер ⁴⁰K в момент образования Земли, t - возраст Земли. T_1/2 - период полураспада ⁴⁰K, составляющий 1.277 109 лет. При радиоактивном распаде ⁴⁰K путем e- захвата распадается только 10.67% ядер, поэтому число ядер аргона к настоящему времени будет

.

Получаем уравнение:

,

откуда

5. В результате -распада радий ²²⁶Ra превращается в радон ²²²Rn. Какой объем радона при нормальных условиях будет находиться в равновесии с 1 г радия? Период полураспада ²²⁶Ra T_1/2(Ra) = 1600 лет, ²²²Rn - T_1/2(Rn) = 3.82 дня.

При установлении векового равновесия количество радиоактивных ядер обоих изотопов и их постоянные распада связаны уравнением

₁N₁ = ₂N₂,

откуда

N_Rn = N_{Ra Ra}/ _Rn = N_RaT_1/2(Rn)/T_1/2(Ra).

Количество ядер ²²⁶Ra

N_Ra = m N_A/A,

где m и A- масса и массовое число ²²⁶Ra , N_A - число Авогадро. Искомый объем

V = V_MN_Rn/N_A,

где V_M - молярный объем газа (22.4 л/моль). Получаем

6. Определить сечение реакции ³¹P(n,p)³¹Si, если известно, что после облучения мишени ³¹P толщиной d = 1 г/см² в потоке нейтронов J = 2 10¹⁰ с^-1 см^-2 в течение времени t_обл = 4 ч ее -активность I, измеренная через время t_охл = 1 час после окончания облучения, оказалась I(t_охл) = 3.9 10⁶ распадов/с. Период полураспада T_1/2(³¹Si) = 157.3 мин.

Число ядер ³¹Si, образующихся в 1 с в данной реакции

,

где n - число ядер на единицу площади мишени, N_A - число Авогадро, A- массовое число ³¹Si. Число распадающихся в 1 с ядер N(t), где = ln 2/T_1/2 = 60 ^х 0.693/157.3 = 0.264 ч^-1 - постоянная распада ³¹Si. Тогда

,

при этом N(0) = 0. Получаем, что к моменту времени t_обл образовалось ядер ³¹Si

.

Через промежуток времени t_охл после окончания облучения число ядер ³¹Si

Активность препарата

Для сечения реакции получаем

2 10^-26 см² = 20 мб.

7. Определить кинетические энергии -частиц , образующихся при - распаде ²¹²Bi на возбужденные состояния ядра ²⁰⁸Tl с энергиями 0,49 и 0,61 МэВ. Энергия связи E_св.(A,Z) ядра ²¹²Bi - 1654.32 МэВ, ядра ²⁰⁸Tl - 1632.23 МэВ и -частицы - 28.30 МэВ.

Энергия a -распада из основного состояния исходного ядра в основное состояние конечного ядра Q₀ определяется из соотношения

Q₀ = (M(A,Z) - M(A- 4,Z- 2) - M(a ))с² = E_св(A- 4,Z- 2) + E_св(a ) - E_св(A,Z),

где M(A,Z) - масса исходного ядра, M(A - 4, Z - 2) - масса конечного ядра, M(a ) - масса - частицы и E_св(A,Z), E_св.(A- 4,Z- 2), E_св(a ) соответственно их энергии связи. В общем случае, когда распад происходит из возбужденного состояния начального ядра в возбужденное состояние конечного ядра, энергия - распада определяется соотношением

Q = Q₀ + E_i - E_f,

где E_i и E_f - энергии возбуждения начального и конечного ядер.
Кинетическая энергия a -частиц с учетом энергии отдачи конечного ядра

При распаде на первое возбужденное состояние (0.49 МэВ) ядра ²⁰⁸Tl

= (1632.23 + 28.30 - 1654.32 - 0.49) МэВ ^х 208 а.е.м./212 а.е.м. = 5.61 МэВ.

При распаде на второе возбужденное состояние (0.61 МэВ) энергия -частиц будет

= (1632.23 + 28.30 - 1654.32 - 0.61) МэВ ^х 208 а.е.м./212 а.е.м. = 5.49 МэВ.

8. Определить орбитальный момент l, уносимый -частицей в следующих распадах:

Для распада A B + b запишем законы сохранения момента и четности

A = B + b + ,

где _A, _B, _b - спины частиц A, B и b соответственно, - орбитальный момент частицы b.

PA = PBPb(-1)l

где P_A, P_B, P_b - внутренние четности частиц A, B и b соответственно. Спин -частицы 0, четность положительная. Законы сохранения момента и четности для -распада можно записать в виде

i = f + или |Ji - Jf| < l < Ji + Jf,

где _i, _f - начального и конечного ядер.

Pi = Pf(-1)l,

где P_i, P_f - четности начального и конечного ядер. Таким образом в случае
а) 0 < l < 5, четность не меняется и поэтому l = 0, 2, 4; в случае
б) 2 < l < 3, четность не меняется и l = 2; в случае
в) 0 < l < 5, четность не меняется и l = 0, 2, 4; и в случае
г) 1 < l < 4, четность меняется и l = 1, 3.

9. Используя значения масс атомов, определить верхнюю границу спектра позитронов, испускаемых при
⁺ -распаде ядра ²⁷Si.

Энергия ⁺ - распада

Q = M_ат.(A, Z) - M_ат.(A, Z - 1) - 2 m_e,

где M_ат.(A, Z) - масса атома исходного ядра и M_ат.(A, Z - 1) - масса атома ядра-продукта (массы в энергетических единицах). Масса атома ²⁷Si равна 25137.961 МэВ, а ²⁷Al - 25133.150 МэВ. Верхняя граница спектра позитронов равна энергии распада

T^max = Q = 25137.961 МэВ - 25133.150 МэВ - 2 ^х 0.511 МэВ = 3.789 МэВ.

10. Определить энергию отдачи ядра ⁷Li, образующегося при e- захвате в ядре ⁷Be. Даны энергии связи ядер - E_св(⁷Be) = 37.6 МэВ, E_св(⁷Li) = 39.3 МэВ.

Процесс ⁷Be + e^{- 7}Li + _e. Энергия e-захвата

Q_e = E_св(A, Z-1) – E_св(A, Z) – (m_n – m_p)c² + m_ec² = E_св(A, Z-1) – E_св(A, Z) – 0.78 МэВ,