Цепь с резистивным элементом

Элементы электрической цепи, обладающие только активным сопротивлением R, называют резисторами (реостат, лампа накаливания). Пусть к зажимам цепи (рис.4.5) с активным сопротивлением R приложено напряжение u = U_mахsinωt.

Рис.4.6. Электрическая цепь с резистивным элементом

В соответствии со II ЗК для мгновенного значения напряженя u = Ri, т. е.

I = U_mахsinωt/R = I_mахsinωt,где

I_mах= U_mах/R или I = U/R.

Из вышеприведенного видно, что напряжение u и ток i в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе,что показано на векторной (рис.4.7.) и временной (рис.4.8) диаграммах.

Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи равен

φ = j_u - j_i = 0° - 0° = 0°

Рис.4.7. Векторная диаграмма Рис.4.8. Временная диаграмма

цепи с R-элементом цепи с R -элементом

Запишем комплексные напряжение и ток цепи с резистивнымэлементом:

= e^j0; φ_u = 0°;

İ = Ie^j0; φ_i = 0° .

Тогда комплексное сопротивление цепи равно

Z = /İ = Ue^j0/Ie ^j0= R,

т. е.комплексное сопротивление цепи с резистивным элементом равно положительному вещественному числу, модуль которого равен R.

Определим мощность цепи:

p = ui = U_mахsinωtI_mахsinωt = U_mахI_mахsin²ωt = UI(1 – cos2ωt), (1.38)

т. е. напряжение и ток совпадают по фазе и мгновенное значение мощности всегда положительно. Таким образом, в цепи с резистивным элементом вся потребляемая электрическая энергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Среднее значение мощности за период равно активной мощности, так как cosφ = 1.

Выразим полную мощность цепи в комплексной форме

S = = Se ^φj = UIcos0º + jUIsin0º = UI,

Р = UI = RI²,

где Р – активная мощность цепи, Вт, кВт, мВт.

Полная мощность цепи с R-элементом равна активной мощности, которая характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приемнику и ее преобразование в другие виды энергии. Это активный необратимый процесс.

ЛЕКЦИЯ 5

источнике питания , . Комплексное сопротивление цепи , XL = 2πƒL, R = 0, φ = arctg(XL/R) = 90˚, XL/0 = ∞, arctg ∞ = 90°. Ток цепи İL= /Z L = Ue j 0/XLe+j 90˚ = (U/XL) e –j 90˚ = = IL e –j 90. Мощность цепи S = QL= XLIL2 , P = 0. Коэффициент мощности cos φ = 0 , φ = + 90º.

5.1. Цепь с индуктивным элементом

Трансформаторы, электрические двигатели, дроссели, кроме активного сопротивления обладают индуктивным сопротивлением. Индуктивностью обладают все проводники с током. В ряде случаев она мала и ею пренебрегают, но значительна там, где обмотки катушек состоят из большого числа витков провода.

Индуктивность возрастает, если магнитный поток замыкается по пути с малым магнитным сопротивлением (например, по стальному сердечнику).

Рассмотрим идеальную катушку с постоянной индуктивностью L, у которой активное сопротивление равно 0.

Рис.5.1. Электрическая цепь с индуктивным элементом

Пусть к цепи с приложено напряжение u = U_mахsinωt. Под действием напряжения в цепи возникает ток i,который создает магнитный поток Ф. Согласно закону электромагнитной индукции магнитный поток Ф индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

е_L = -wdФ/dt = -Ldi/dt,

где w -число витков катушки.

Знак «минус» согласно принципу электромагнитной индукции (закон Ленца) указывает на то, что е_L всегда имеет такое направление, при котором она препятствует изменению магнитного потока или тока в цепи.

На рис.5.1 показаны условные положительные направления напряжения u, тока i, ЭДС самоиндукции e_L на элементе с индуктивностью L. Условное положительное направление ЭДС е_L выбирают из условия, что ее действительное направление в любой момент времени противоположно напряжению на катушке u_L.

По II ЗК имеем u - u_L = 0, а с учетом того, что u_L = - е_L, получаем

u = e_L = 0

Тогда

U_mахsinωt – Ldi/dt = 0, или di/dt = U_mахsinωt/L.

При решении этого уравнения получаем выражение для тока в цепи

i = (U_mах/L)sinωtdt = - U_mахcosωt/ωL = U_mахsin - π/2)/ωL =

= I_mахsin(ωt - π/2).

Таким образом, в цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.

Величина ωLимеет размерность сопротивления, Гн/с = В·с/А·с = = Ом.

Этоиндуктивное сопротивление

X_L = ωL = 2πfL.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности.

Тогда

I_mах= U_mах/X_L,или I = U /X_L.

Так как ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то

X_LI = U = Е_L

Следовательно, индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током i и ЭДС самоиндукции e_L.

Запишем комплексные напряжение и ток цепи

= Ue ^j0, ψ_u = 0^o;

İ = Ie ^-j90, ψ_i = - 90^o.

Сдвиг по фазе между напряжением и током

φ = 0° – (-90° ) = +90^o

Комплексное сопротивление цепи

Z = /İ = Ue ^j0/Ie ^-j90 = X_Le^j90 = jX_L.

Таким образом, комплексное сопротивление цепи с L-элементом равно положительному мнимому числу.

Модуль комплексного сопротивления

Z = X_L

Мощность цепи с L-элементом

P = ui = U_mахsinωt - I_mахsin(ωt-90°) = -UIsin2ωt.

т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода ток направлен от цепи к источнику питания, а во вторую и четвертую – от источника питания к цепи. Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуется реактивной мощностью Q_L = UI, равной амплитуде мгновенного значения мощности. В первую и третью части периода мощность отрицательна и энергия передается от катушки к источнику питания, а во вторую и четвертую четверти периода энергия запасается в магнитном поле катушки.

Выразим полную мощность цепи в комплексной форме

S = = Se^jφ = UIcos90° + jUIsin90° = jUI

Q_L = UI = X_LI²,

гдеQ_L– реактивная мощность цепи (вар, квар, мвар).

Полная мощность цепи с L-элементом равна реактивной мощности.

Векторная, временная диаграммы цепи с идеальной индуктивностью а также изменение мощности представлены на рис.5.2, 5.3.

Рис.5.2.Временная диаграмма Рис.5.3. Векторная диаграмма

цепи с L-элементом с L- элементом