Определение момента, необходимого для затяжки резьбовой пары

При затягивании резьбовой пары детали прижимаются друг к другу с силой F_зат (рис 16.8). Со стороны деталей на головку болта и гайку действует также сила F_зат, которая через резьбу передается на стержень болта и вызывает его растяжение. Затяжка производится ключом с усилием F_кл, который создает момент T_кл=F_клL. Момент внешней силы F_кл уравновешивается моментом внутренних сил трения в резьбе и на торце гайки. Таким образом

Т_кл=Т_р+Т_т,

где Т_р – момент трения в резьбе; Т_т- момент трения на торце гайки.

Болт находится в сложнонапряженном состоянии – скручивается и растягивается от осевой силы. Определим каждую из составляющих T_кл.

1. Определение момента трения на торце гайки.При затяжке резьбовой пары, когда торец гайки касается поверхности детали, возникает момент сил трения на поверхности гайки (рис 16.9). Введем допущение: усилие затяжки равномерно распределено по торцевой поверхности гайки. Под действием усилия F_зат на торце гайки возникает давление

,

где d– диаметр отверстия, D– диаметр под ключ. Проведем две концентрические окружности с радиусами r и r+dr. Выделяем элемент торца гайки dj . На этот элемент действует нормальная сила

dF_n=PdS=Prdjdr,

где dS-площадь выделенного элемента. Рис.16.9

Элементарная сила трения определяется как

dF_тр=dF_nf=PdS=Pfrdjdr,

где f – коэффициент трения на торце гайки. Элементарный момент трения

dT_T =dF_трr= Pfr²djdr.

Тогда момент трения на торце гайки определяется в виде

или .

2. Определение момента трения в резьбе. Рассмотрим взаимодействие гайки и витка резьбы болта, которое можно заменить действием груза на наклонную плоскость (рис 16.10,а). Развернем виток резьбы на плоскость.

Под действием сил F_зат, F_t и R тело находится в равновесии. Из треугольника сил (рис. 16.10,б) имеем

,

где b - угол подъема витка резьбы, r’ – угол трения.

Определим момент трения в резьбе

или .

Условия самоторможения резьбы

Самотормозящаяся резьба - это такая, в которой гайка удерживается под нагрузкой за счет сил трения. При свинчивании гайки сила трения F_тр меняет свое направление и условный груз находится в равновесии под действием сил F_зат, F_t и R (рис 16.11, а).

Из треугольника сил (рис 16.11,б)

Условие самоторможения F_t>0, то есть в самотормозящейся резьбе для свинчивания гайки нужно обязательно приложить усилие F_t. В несамотормозящейся резьбе это усилие не нужно, так как гайка будет сама откручиваться под действием усилия затяжки F_зат (вес груза), тогда или .

Для метрической крепежной резьбы (рис 16.12), тогда

; ,

где -приведенный коэффициент трения.

Угол трения изменяется в зависимости от величины коэффициента трения в пределах от 6° (f=0,1) до 16° (f=0,3), а b лежит в пределах от 1,5° до 4°, т. е. все крепежные резьбы самотормозящиеся.

В прямоугольной ходовой резьбе сила F_n' перпендикулярна профилю витка, т.е. F_n'=F_n (рис 16.13). Отсюда находим F_тр= F_n f= F_n'f. В ходовых резьбах коэффициент трения ниже, чем в метрических f < f' , так как cosa <1.

Лекция №17

КПД резьбовой пары

Представим развертку витка резьбы с грузом на плоскости (рис 17.1). Рассмотрим случай навинчивания гайки, что соответствует подъему груза по наклонной плоскости.

К.П.Д. резьбовой пары

,

где А_пол – полезная работа,

А_затр – затраченная работа.

,но ,тогда .

, но следовательно .

Тогда (17.1)

В самотормозящей паре b<r' и h< 0,5. КПД винтовой пары представляет интерес главным образом для винтовых механизмов. Последняя формула позволяет отметить, что h возрастает с увеличением b и уменьшением r'

График зависимости h от b при r'= 6⁰ (рис. 17.2) имеет максимум. Максимальное значение h можно определить из выражения (17.1), приравняв нулю производную . Получим h_max при .

Для увеличения угла подъема резьбы применяются в винтовых механизмах многозаходные резьбы. Обычно b не превышает 25⁰, так как дальнейший прирост КПД незначителен, а изготовление резьбы затруднено. Для повышения КПД винтовых механизмов применяют средства, снижающие трение в резьбе: антифрикционные материалы, смазку поверхностей, применение шариковых винтовых пар.

Распределение нагрузки по виткам резьбы

Рассмотрим схему винтовой пары (рис. 17.3).Основная осевая нагрузка F_зат винта передается через резьбу гайке и уравновешивается реакцией её опоры. При этом каждый виток резьбы нагружается соответственно силами

F₁, F₂,…, F_n, причем .

При равномерном распределении нагрузки в резьбе F₁=F₂=…= F_n= F_зат/n, где n- число витков резьбы, эпюра распределения нагрузки по виткам имела бы вид как на рис.17.3, а. В реальных условиях распределение осевой силы между витками резьбы было бы равномерным, если бы резьба была изготовлена абсолютно точно, не изнашивалась и податливость резьбы была бы значительно выше податливости винта и гайки. В действительности эти условия отсутствуют. Влияние податливости винта на распределение сил между витками удобно показать для случая ввинчивания винта в массивную деталь, приняв её недеформируемой. Изобразим условно каждую пару витков в виде балочек, защемленных между стержнем винта и телом гайки.

На рис. 17.4,а показано резьбовое соединение в ненагруженном состоянии - балочки, изображающие витки резьбы, не деформированы.

На рис. 17.4, б показано соединение, где податливость резьбы значительно больше податливости деталей, поэтому все витки имеют одинаковую деформацию и нагрузку.

На рис. 17.4, с показано соединение, у которого податливость стержня винта соизмерима с податливостью резьбы, поэтому нижние витки резьбы получили большее упругое перемещение, чем верхние, а сила между каждой парой витков винта и гайки по закону Гука пропорциональна упругим перемещениям этих витков. Неравномерность распределения нагрузки по виткам усугубляется тем, что витки на наиболее растянутой части винта сопряжены с витками, расположенными в наиболее сжатой части гайки. Например, в рассматриваемом случае винт растягивается, а гайка сжимается. При этом точки А, B, C и D винта и гайки перемещаются вниз соответственно на ΔA,ΔB,ΔC иΔD. Из – за растяжения участка AB винта имеем

ΔB < ΔA, (17.2)

а вследствие сжатия участка CD гайки

ΔD < ΔC. (17.3)

Выразим прогиб витка резьбы через относительное перемещение точек A и D (Δ AD), а также B и C (Δ BC):

(17.4)

Из системы (17.4) получаем

Согласно неравенствам (17. 2) и (17. 3) и , следовательно

и .

Все деформации витка резьбы и в том числе и прогиб пропорциональны его нагрузке, следовательно, нагрузка первого витка больше нагрузки второго и т.д.

Теоретическое решение о распределении нагрузки по виткам резьбы дано Н.Е. Жуковским в 1902 году. В дальнейшем это решение неоднократно подтверждалось экспериментальными исследованиями. Установлено, например, что при стандартной крепежной гайке с шестью витками, первый виток резьбы воспринимает 52% нагрузки, второй 25%, третий 12% и последний шестой – только 2% нагрузки.

При столь неравномерном распределении нагрузки по виткам резьбы большое увеличение высоты гайки оказывается бесполезным в связи с опасностью последовательного «цепного» разрушения витков. Приближенно – равномерное распределение нагрузки по виткам резьбы можно получать, только применяя гайки специальной формы, выравнивающие распределение нагрузки в резьбе. Специальные гайки желательно применять при действии переменных и динамических нагрузок, где разрушение носит усталостный характер.

Висячая гайка.Выравнивание нагрузки в резьбе здесь достигается благодаря тому, что винт и гайка имеют однозначные деформации растяжения (рис. 17.5). При этом равенство (17.3) изменится и будет ΔD >ΔC, а разность между ΔAD и ΔBC уменьшится. Кроме того, в наиболее нагруженной зоне (внизу) висячая гайка обладает повышенной податливостью, что также способствует выравниванию нагрузки в резьбе.

Гайка со срезанными витками.

У такой конструкции резьбовой пары увеличена податливость нижних витков винта, так как они соприкасаются с гайкой не всей поверхностью, а только своими вершинами (рис. 17.6). Увеличение податливых витков в наиболее нагруженной зоне снижает нагрузку этих витков.