Отримання математичного опису об’єкту управління

Зміст

1 Отримання математичного опису об’єкту управління 4

2 Аналіз стійкості САУ без наявності регулятора (корегуючого пристрою) 6

3 Розрахунок настроювань по показнику коливання (методом В.Я. Ротача) 9

4 Розрахунок параметрів настроювання стандартного регулятора 13

Література 17

Отримання математичного опису об’єкту управління

Отримання передаточної функції об’єкту управління на основі апроксимації “кривої розгону” з використанням методу Сімою.

Рисунок 1 – Крива розгону об’єкту управління

1.1 Нормування кривої розгону:

Із ординат кривої розгону формуємо вектор-строку вихідних даних:

y ( 0.3 0.31 0.325 0.357 0.39 0.42 0.455 0.48 0.5 0.52 0.54 0.545 0.553 0.56 0.563 0.567 0.57 0.572 0.576 0.578 0.58 ) .

Тепер отримаємо криву розгону без впливу на неї вхідної дії. Для цього вектор-рядок початкових даних ділимо на зовнішній вплив , і отримуємо вектор – рядок .

Y1(t) = (15 15.5 16.25 19.5 21 22.75 24 25 26 27 27.25 27.65 28 28.15 28.35 28.5 28.6 28.8 29.9 29)

Від отриманих значень віднімемо 15 і в результаті отримуємо нормований вектор-рядок Y(t) :

Y (t)= (0 0.5 1.25 2.85 4.5 6 7.75 9 10 11 12 12.25 12.65 13 13.15 13.35 13.5 13.6 13.8 13.9 14)

Транспонуємо вектор-строку в вектор-стовпець, нормуємо криву розгону ( ділимо все значення на y_уст= 14 ) і визначаємо розмірність вектора N:

N = 20

1.2 Задаємось видом передатної функції. По зовнішньому вигляду кривої розгону бачимо, що при t = 0 y = 0 і , а отже, n – m = 2.

1.3 Задаємо крок розрахунку по часу Δt = 1,25с та встановлюємо значення коефіцієнта для забезпечення можливості автоматизації розрахунків. Записуємо функцію в MathCad, яка описує підінтегральний вираз рівняння для знаходження коефіцієнтів S_K в загальному вигляді в дискретній формі:

де k – номер обчислюваного коефіцієнта S_k ;

і – номер кроку розрахунку за часом.

1.4 За допомогою пакета MathCad проводимо розрахунок перших 5-ти коефіцієнтів S.

Згідно розрахунків, отримали 5-ть перших коефіцієнти:

S₁= 7.942;

S₂= 19.286;

S₃= 8.963;

S₄= 12.891;

S₅= 61.328.

Згідно п. 1.2 приймаємо, що перехідна функція має другий порядок .

А так як прийнято, що різність між степенями знаменника і чисельника дорівнює одиниці, то, очевидно, що порядок чисельника m в нашому випадку повинен дорівнювати 0(тобто, в чисельнику константа), а коефіцієнти будуть співвідноситись як:

Опираючись на попереднє пояснення буде дорівнювати:

Таким чином, передатна функція об’єкта може буде представлена в вигляді:

Знайдемо передаточну функцію h(t) :

Побудуємо передаточну характеристику передатної функції h(t) та криву розгону нормованого вектора-рядокя Y(t) :

Рисунок 2 – Перехідна та розгінна характеристики

2 Аналіз стійкості САУ без наявності регулятора (корегуючого пристрою)

Дослідження замкненої системи на стійкість за критерієм Михайлова.

Передатна функція розімкненої системи:

2.1 Замикаємо об’єкт управління від’ємним зворотнім зв’язком та знаходимо передатну функцію отриманої системи:

2.2 Характеристичний поліном системи (вираз в знаменнику):

2.3 Виконуємо заміну s=jω, в результаті отримаємо функцію Михайлова:

2.4 Розділивши коефіцієнти, які містять уявну одиницю, і які її не містять, отримуємо вираз для реальної та уявної частин функції Михайлова

2.5 Для отримання годографів Михайлова використовуємо математичний пакет MathCad:

Рисунок 3 – Годограф Михайлова для системи 2-го порядку

Висновок: Дана замкнена система стійка, оскільки кількість пройдених квадрантів годографом відповідає порядку системи. Годограф починається в 1-ому квадранті і, закінчившись в 2-му, уходить в нескінченність.

2.6 Побудова перехідної характеристики замкненої системи та визначення основних показників якості.

2.6.1 Задаємо передатну функцію замкненої системи:

.

2.6.2 Виконуємо перетворення Лапласа передатної функції замкненої системи під дією одиничного ступінчатого сигналу:

2.6.3 Отримуємо перехідну функцію:

.

2.6.4 Будуємо перехідну характеристику за допомогою MathCad для t = 50c:

Рисунок 4 – Перехідна характеристика замкненої системи

Перерегулювання σ, % , знаходимо за формулою:

Час перехідного процесу , c, визначаємо із умови:

h(t)-

Знайдемо 5% коридор від встановленого значення :

h(t )= 0.93-0.047 = 0.886

t_p = 14.88c

Таблиця 1 – Прямі показники якості замкненої системи

№	Показник якості	Одиниця виміру	Чисельне значення
	Перерегулювання	σ, %
	Час перехідного процесу	, c	14.88c