Линейная и угловая скорость. вращательное движение

6.1 .За какое время колесо, имеющее угловую скорость рад/с, сделает 100 оборотов?

6.2 .Какова линейная скорость точек земной поверхности на широте 60⁰ при суточном вращении Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.

6.3 .При увеличении в 4 раза радиуса круговой орбиты искусственного спутника земли период его обращения увеличивается в 8 раз. Во сколько раз изменяется скорость движения спутника по орбите?

6.4 .Минутная стрелка часов в 3 раза длиннее секундной. Найти отношение линейных скоростей концов стрелок.

6.5 .Радиус рукоятки колодезного ворота в 3 раза больше радиуса вала, на который наматывается трос. Какова линейная скорость конца рукоятки при поднятии ведра с глубины 10 м за 20 с?

6.6 .Какое расстояние проедет велосипедист при 60 оборотах педалей, если диаметр колеса 70 см, ведущая зубчатая шестеренка имеет 48 зубцов, а ведомая - 18 зубцов?

6.7 .Колесо радиуса R катится по горизонтальной поверхности без скольжения с угловой скоростью . Чему равна скорость оси колеса, верхней точки, нижней точки колеса относительно горизонтальной поверхности.

6.8 .Модуль линейной скорости точки, лежащей на ободе колеса, в 2,5 раза больше модуля линейной скорости точки, лежащей на 0,03 м ближе к оси колеса. Найти радиус колеса.

6.9 .Когда колесо катится, то часто бывает, что нижние спицы видны отчетливо, а верхние спицы как будто сливаются. Почему так?

6.10 .Длина минутной стрелки башенных часов МГУ равна 4,5 м. Определите линейную скорость конца стрелки и угловую скорость движения стрелки.

6.11 .Определите ускорения точек земной поверхности на различных широтах за счет участия в суточном вращении Земли.

6.12 .Вектор линейной скорости (V= 2 м/с) точки, равномерно вращающейся по окружности, повернулся на 30⁰ за 0,5 с. Найти ускорение этой точки.

6.13 .С блока радиусом 20 см сматывается нить с подвешенным на ней грузом. Ускорение груза 2 см/с². Определите угловую скорость блока, когда груз пройдет из начального положения путь 100 см. Определите величину и направление ускорения нижней точки блока в этот момент времени.

6.14 .Снаряд вылетел со скоростью v₀ под углом к горизонту. Определите радиус кривизны, нормальное и тангенциальное ускорения снаряда в верхней точке траектории.

6.15 .Материальная точка движется по круговой траектории радиуса 10 см в соответствии с уравнением для пути S= t + 2,5t². Найдите полное ускорение во 2-ю секунду движения.

6.16 .Снаряд вылетает под углом 45⁰ к горизонту. Чему равна дальность полета снаряда, если радиус кривизны траектории в точке максимального подъема равен 15 км?

6.17 .Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень?

6.18 . Въезд на один из самых высоких в Японии мостов имеет форму винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом r. Полотно дороги составляет угол с горизонтальной плоскостью. Найдите модуль ускорения автомобиля, движущегося по въезду с постоянной по модулю скоростью v.

6.19 .Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1 м и за 10 с проходит путь 50 м. Чему равно нормальное ускорение точки через 8 с после начала движения?

6.20 . Автомобиль движется со скоростью v= 60 км/ч. Сколько оборотов в секунду делают его колеса, если они катятся по шоссе без скольжения, и внешний диаметр покрышек колес равен d= 60 см?

6.21 .Круг радиуса 2 м вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота зависит от времени по закону . Найти линейную скорость различных точек круга и угловое ускорение.

6.22 . Колесо радиуса 0,1 м вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота зависит от времени по закону . Найти среднее значение угловой скорости за промежуток времени от t=0 до остановки. Найти угловую и линейную скорость, а также нормальное , тангенциальное и полное ускорение точек обода колеса в моменты времени 10 с и 40 с.

6.23 . Используя условие задачи 6.7, определить величину и направление векторов скорости и ускорения для двух точек обода колеса, расположенных в данный момент времени на противоположных концах горизонтального диаметра колес.

6.24 . Твердое тело вращается с угловой скоростью , где a = 0,5 рад/с² и b=0,06 рад/с². Найти модули угловой скорости и углового ускорения в момент времени t=10 с, а также угол между векторами углового ускорения и угловой скорости в этот момент времени.

6.25 . Шар радиусом R начинает скатываться без скольжения по наклонной плоскости так, что его центр движется с постоянным ускорением (рис.12). Найти через t секунд после начала движения скорости и ускорения точек А, В и О.

А

В

О

Рис. 12

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Задача

На шнуре, перекинутом через неподвижный блок, помещены грузы массами 0,3 и 0,2 кг. С каким ускорением движется система? Какова сила натяжения шнура во время движения?

Используем указанный выше порядок решения задач на динамику.
1. Сделаем чертеж и расставим силы, действующие на каждое тело, исходя из его взаимодействий с другими телами .

Тело массой m₁ взаимодействует с Землей и нитью; на него действует сила тяжести и сила натяжения нити . Тело массой m₂ также взаимодействует с Землей и с нитью; на него действует сила тяжести и сила натяжения нити .

2. Выбираем направление движения для каждого тела независимо. Поскольку мы расставили все силы, действующие на каждое тело, теперь можно рассматривать их движение независимо друг от друга вдоль своего направления движения.

3. Записываем уравнение движения (2-ой закон Ньютона) для каждого тела:

4. Проектируем эти векторные уравнения на выбранные направления движения:
F_H – F_т1 = m₁a
F_H – Fт₂ = m₂a

5. Решаем полученную систему уравнений, для этого сложим их:
F_т2 – F_т1 = (m₂ + m₁)
Найдем ускорение тел:
- 2 м/с²
Знак минус означает, что реальное движение происходит с отрицательным ускорением, т.е. направление движения противоположно выбранному направлению в начале решения задачи.

Найдем силу натяжения нити:
= 2,4 Н

Задача

На наклонной плоскости длиной 13 м и высотой 5 м лежит груз массой 26 кг. Коэффициент трения равен 0,5. Какую силу надо приложить к грузу вдоль наклонной плоскости, чтобы:
а) равномерно втащить груз;
б) равномерно стащить груз.

1. Применим стандартный порядок решения задач на динамику. Сделаем чертеж.

а) б)

Расставим силы, действующие на груз. На груз действует сила тяжести , направленная вертикально вниз, сила упругости , направленная перпендикулярно взаимодействующим поверхностям и, при движении груза по наклонной плоскости, сила трения скольжения , направленная противоположно скорости движения тела. Кроме того, к телу приложена еще внешняя сила , которая осуществляет равномерное движение тела по наклонной плоскости.
Для равномерного движения необходимо (это следует из 1-го закона Ньютона) следующее условие: сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю.

1. Найдем проекцию этого уравнения на ось ох, выбранную вдоль наклонной плоскости:

-F + F_{тяж х} +F_nтр = 0

Величину проекции силы тяжести на ось ох найдем из треугольника АОВ, в котором , т.е. угол при основании наклонной плоскости.

F_{тяж х} =F_тяж

По определению:

F_тр =

N- сила нормального давления, которая находится из треугольника АОС:

N=СО= F_тяж

Найдем теперь величину силы F:

Выразим и :

;

F= 218,8 Н

1. Используем тот же порядок действий (рис.57б).

В этом случае сила трения скольжения направлена вверх, т.е. в сторону, противоположную скорости движения тела. Запишем условие равномерного движения груза вниз по наклонной плоскости:

В проекциях на ось ох:

F +F_{тяж х} - F_тр = 0

F= = 20,8 Н