Определение закона распределения по ТО при завершённых испытаниях
Завершенные испытания используются в тех случаях, когда ресурс испытаний сравнительно невелик: обычно при этих испытаниях можно получить сравнительно большой объем статистики, что повышает точность результатов.
Таблица 2.3
Построение нормальной кривой по опытным данным
6,8 | 7,2 | 7,6 | 8,0 | 8,4 | 8,8 | 9,2 | Итого |
n=50 |
1. Находим выборочную среднюю:
Таким образом, средняя трудоемкость ТР составляет 7,96 чел∙ч.
2. Находим выборочную дисперсию:
3. Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой – средним квадратическим отклонением. Итак, находим среднее квадратическое отклонение по формуле:
4. Находим выравнивающие частоты теоретической кривой (для этого составляем таблицу 2.4):
Таблица 2.4
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | yi = (n*h/s) *φ(Ui) = 35 * φ (Ui) |
6,8 | -1,16 | -2,02 | 0.0519 | 1,817≈2 | |
7,2 | -0,76 | -1,33 | 0.1647 | 5,765≈6 | |
7,6 | -0,36 | -0,63 | 0.3271 | 11,449≈11 | |
8,0 | 0,04 | 0,07 | 0.3980 | 14,93≈15 | |
8,4 | 0,44 | 0,77 | 0.2966 | 10,381≈10 | |
8,8 | 0,84 | 1,47 | 0.1354 | 4,739≈5 | |
9,2 | 1,24 | 2,16 | 0.0387 | 1,355≈1 | |
n=50 |
где – плотность распределения. Выбирается по таблице значений функции
(учебник В.Е. Гмурмана «Теория вероятностей и математическая статистика» - приложение 1).
yi = (n*h/s) — где n - сумма наблюдаемых частот,
h – разность между двумя соседними вариантами.
5. Находим верхнее и нижнее отклонение (толерантные пределы):
где tγ – значение коэффициента Стьюдента;
γ – надежность распределения, принимается γ = 0,95.
Надежность γ = 0,95 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95 % из них определяет такие доверительные интервалы, в которых исследуемый параметр действительно заключен, лишь в 5 % случаев он может выйти за границы доверительного интервала.
6. Строим график нормального распределения.
7. Проверка на нормальность (с помощью коэффициента вариации V):
При V > 0,33 – распределение Вейбулла-Гнеденко, при V < 0,33 – нормальное распределение. В нашем случае:
что свидетельствует о нормальности распределения.
8. Для того чтобы более уверенно считать, что данные наблюдений свидетельствуют о нормальном распределении признака, пользуются специальными критериями согласия. Проверим правильность гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия согласия Пирсона.
Таблица 2.5
Эмпир. частоты | |||||||
Теор. частоты |
Составим расчетную таблицу 2.6:
Таблица 2.6
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
0,167 | 8,167 | ||||||
-1 | 0,091 | 9,09 | |||||
-1 | 0,1 | 8,1 | |||||
∑ | χ2набл=1,358 | 51,357 |
Проверим правильность расчета:
Вывод: вычисления произведены правильно.
Найдем число степеней свободы по равенству:
где S – число групп выборки (S = 7);
r – число параметров нормального распределения (r = 2).
По таблице критических точек распределения χ2 по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=4 находим: χ2кр (0,05; 4) = 9.5
Вывод: так как χ2набл < χ2кр (1,358<9,5) – нет оснований отвергать нулевую гипотезу, то есть расхождение эмпирических и теоретических частот незначительно, а значит распределение нормальное.
Из расчетов видно, что средняя трудоемкость ТО составляет 7,96 чел∙ч, а среднеквадратичное отклонение σ=0,573 чел-ч.