Усечённое нормальное распределение.
Нормальный закон распределения наиболее часто используется для оценки надежности при постоянном отказе.
Плотность вероятности нормального распределения задана уравнением
Ти σ- параметры закона (закон двухпараметрический).
Т- средняя наработка на отказ
σ - среднеквадратическое отклонение времени безотказной работы.
Так как при нормальном распределении случайная величина может принимать значения - ∞ до +∞, а время безотказной работы может быть только положительным, то нужно рассматривать усеченное нормальное распределение с плотностью
где с- нормирующий множитель, который определяется из выражения
и равен
где - табулированная интегральная функция нормального распределения;
- нормированная функция Лапласа.
Средняя наработка до отказа и параметр Т1 усеченного нормального распределения связаны зависимостью
При коэффициент
и усеченное нормальное распределение достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным законом.
При испытании выборки объемом n изделий с наработкой t1, t2, … tnпараметры T и σоцениваются из формулы
Доверительные границы средней наработки до отказа определяются по уравнениям
где - квантиль распределения Стьюдента для вероятности α или уровня значимости β = 1 – α и числа степеней свободы f =n – 1.
В случав двухстороннего определения доверительных границ (вспомнив, что α = α1 + α2 – 1 )
α1 = α2 =( α + 1)/2, при этом уровни значимости β1 = β2 = (1 – α)/2.
Для разных партий величина Sn =[S] будет различной.
Рассматривая Sn как случайную величину с нормальным распределением мочено указать доверительные интервалы для равенства σ= Sn.
t - коэффициент доверительной вероятности, определяемый для распределения Стьюдента;
σSn – среднеквадратичное отклонение величины Sn.
σSnприближенно определяют из формулы
Доверительные границы среднеквадратичного отклонения определяются как:
где x2(1 – β/2)(n-1)- квантиль;
x2 - квадрат распределения при вероятности P=1 – β/2и числе степеней свободы k=n-1;
x2(β/2)(n-1)- то же для вероятности P= β/2.
Значения x2(Р)(k)находятся по таблице.
Нижняя доверительная граница для вероятности безотказной работы PH(t)может быть приближенно найдена по формуле
где - оценка вероятности безотказной работы;
- квантиль нормального распределения;
- оценка стандартного отклонения оценки
.
Величина определяется по формуле
где Ф0(Z) – нормальная функция Лапласа( по таблицам).
Величина - определяется по таблицам при вероятности α.
Величина определяется из выражения
где
Часто при оценке надежности требуется определить границы интервала, в котором будет находится нормально распределённая случайная величина с заданной вероятностью Р.
Границы YНи YВ и интервалы часто называют толерантными (допустимыми) пределами.
Толерантные пределы запишутся следующим образом:
верхний предел [-∞, +kS];
нижний предел [ -kS,+∞];
двусторонний интервал [ –kS,
+kS];
где -выборочное среднее случайной величины;
S – оценка стандартного отклонения.
Так как толерантные пределы определяются на основании выборочных данных и Sто они устанавливаются с вероятностью α.
Константа k являющаяся функцией
a) объёма выборки n ;
б) вероятности Р;
в) доверительной вероятности α
приближенно выражается функцией
где ZP и uα – определяются по таблицам для р = Р и р = α соответственно.
Объем испытаний для определения Т с ошибкой не более εчасов с доверительной вероятностью αприближенно должен быть получен при помощи уравнения
гдеZP - квантиль нормального распределения, определяемый для вероятности р = α,
σ0 - ориентировочное значение σ.
Лекция 7.
Испытания ДМ для определения показателей эксплуатационных свойств