Усечённое нормальное распределение.

Нормальный закон распределения наиболее часто использу­ется для оценки надежности при постоянном отказе.

Плотность вероятности нормального распределения задана уравнением

Ти σ- параметры закона (закон двухпараметрический).

Т- средняя наработка на отказ

σ - среднеквадратическое отклонение времени безотказной работы.

Так как при нормальном распределении случайная величи­на может принимать значения - ∞ до +∞, а время безотказной работы может быть только положительным, то нужно рассматривать усеченное нормальное распределение с плотностью

где с- нормирующий множитель, который определяется из выражения

и равен

где - табулированная интегральная функция нормального распределения;

- нормированная функция Лапласа.

Средняя наработка до отказа и параметр Т₁ усеченного нормального распределения связаны зависимостью

При коэффициент и усеченное нормальное распределение достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным законом.

При испытании выборки объемом n изделий с наработкой t₁, t₂, … t_nпараметры T и σоцениваются из формулы

Доверительные границы средней наработки до отказа опре­деляются по уравнениям

где - квантиль распределения Стьюдента для вероятности α или уровня значимости β = 1 – α и числа степеней свободы f =n – 1.

В случав двухстороннего определения доверительных границ (вспомнив, что α = α₁ + α₂ – 1 )

α₁ = α₂ =( α + 1)/2, при этом уровни значимости β₁ = β₂ = (1 – α)/2.

Для разных партий величина Sn =[S] будет различной.

Рассматривая Sn как случайную величину с нормальным распре­делением мочено указать доверительные интервалы для равен­ства σ= Sn.

t - коэффициент доверительной вероятности, определяемый для распределения Стьюдента;

σ_Sn – среднеквадратичное отклонение величины Sn.

σ_Snприближенно определяют из формулы

Доверительные границы среднеквадратичного отклонения определя­ются как:

где x²(1 – β/2)(n-1)- квантиль;

x² - квадрат распределения при вероятности P=1 – β/2и числе сте­пеней свободы k=n-1;

x²(β/2)(n-1)- то же для вероятности P= β/2.

Значения x²(Р)(k)находятся по таблице.

Нижняя доверительная граница для вероятности безотказной рабо­ты P_H(t)может быть приближенно найдена по формуле

где - оценка вероятности безотказной работы;

- квантиль нормального распределения;

- оценка стандартного отклонения оценки .

Величина определяется по формуле

где Ф₀(Z) – нормальная функция Лапласа( по таблицам).

Величина - определяется по таблицам при вероятности α.

Величина определяется из выражения

где

Часто при оценке надежности требуется определить границы ин­тервала, в котором будет находится нормально распределённая случайная величина с заданной вероятностью Р.

Границы Y_Ни Y_В и интервалы часто называют толерантными (допустимыми) пределами.

Толерантные пределы запишутся следующим образом:

верхний предел [-∞, +kS];

нижний предел [ -kS,+∞];

двусторонний интервал [ –kS, +kS];

где -выборочное среднее случайной величины;

S – оценка стандартного отклонения.

Так как толерантные пределы определяются на основании выборочных данных и Sто они устанавливаются с вероят­ностью α.

Константа k являющаяся функцией

a) объёма выборки n ;

б) вероятности Р;

в) доверительной вероятности α

приближенно выражается функцией

где Z_P и u_α – определяются по таблицам для р = Р и р = α соответственно.

Объем испытаний для определения Т с ошибкой не более εча­сов с доверительной вероятностью αприближенно должен быть получен при помощи уравнения

гдеZ_P - квантиль нормального распределения, определяемый для вероятности р = α,

σ₀ - ориентировочное значение σ.

Лекция 7.

Испытания ДМ для определения показателей эксплуатационных свойств