EOQ-модель, или базовая модель управления запасами

Базовая модель управления запасами строится исходя из предположения, что спрос на товары является непрерывным и носит постоянный, устойчивый характер. Также в ней не учитывается влияние возможных случайных факторов, таких как случайные колебания спроса, непредвиденные задержки при пополнении уровня запасов на складе и т.п. Базовая модель является «идеальной» моделью управления запасами, и потому представляет собой чисто теоретический интерес. Однако в дальнейшем на ее основе будут построены более сложные, стохастические модели, в которых будут учитываться указанные случайные факторы и которые вполне применимы на практике.

Рассмотрим динамику изменения уровня запасов в базовой модели, которая представлена на рис. 2. Для этого будем использовать следующие условные обозначения:

EOQ (Economic Order Quantity) – оптимальная партия поставки, шт;

ROP (Reorder Point) – точка заказа, шт;

AIL (Average Inventory Level) – средний уровень запасов, шт;

LT (Lead Time) – период поставки, дн;

T (Time) – период заказ, дн.

На рис. 2 показано, что в нулевой момент времени уровень запасов находится на максимальном уровне, равным величине EOQ. Следует сразу отметить, что в общем случае партия поставки не обязательно должна быть оптимальной, и тогда ее следует обозначать величиной Q (Quantity). В дальнейшем в формулах будет встречаться оба обозначения, которые следует воспринимать как эквивалентные с учетом названного различия (Q = EOQ). Итак, начиная с нулевого момента идет уменьшение уровня запасов на складе. Угол наклона прямой зависит от интенсивности спроса: более крутой наклон – при более интенсивном спросе, менее крутой наклон – при менее интенсивном спросе. Когда уровень запасов на складе снижается до минимального критического уровня – до точки заказа (ROP), – осуществляется оформление и передача заказа на поставку очередной партии товаров для пополнения запаса на складе. Через время, равное величине периода поставки LT, заказ будет выполнен, то есть на складе будет получена очередная партия поставки EOQ. Точка заказа рассчитывается таким образом, чтобы к моменту поставки на склад очередной партии EOQ текущий уровень запасов находился на нулевой отметке. Тогда каждый раз при достижении текущего запаса нулевого уровня происходит его восполнение до прежнего, максимального уровня, равного величине EOQ. Поскольку в модели спрос на товары носит непрерывный и устойчивый характер, то поставки товаров на склад происходят ритмично, через строго определенные промежутки времени, равные периоду заказа T. Средний уровень запасов на складе в течение года (или другого длительного периода) остается неизменным и равен половине величины партии поставки: AIL = (EOQ+0)/2 = EOQ/2.

Глядя на рисунок, можно убедиться, что все приведенные величины тесно взаимосвязаны между собой. Так, например, величина партии EOQ определяет величину периода заказа T, то есть ритм поставок: если партия большая, поставки производятся относительно редко, если партия маленькая – поставки идут относительно часто. Точно также связаны величины ROP и LT. Если предположить, что LT = 0, то есть поставка партии происходит в момент оформления заказа, то ROP = 0. Однако такого на практике никогда не бывает, а потому чем больше LT, тем больше ROP, и наоборот.

Рассмотрим следующий пример.

Дано: D = 125000 – годовой объем спроса, шт/год; LT = 5 дн; C = 50 – стоимость единицы товара, руб/шт; S = 780 – затраты на доставку/производство партии товара (их постоянная часть, не зависящая от размера партии), руб; I = 10 – годовая норма прибыли (или ставка банковского процента), %/год.

Требуется рассчитать параметры базовой модели: EOQ; ROP; AIL; T; N – количество поставок партий товаров в течение года; TC (Total Cost) – общие затраты на доставку и хранение запасов, руб/год.

Решение:

1. Общие затраты, TC:

Рассмотрим данную формулу. Она состоит из двух слагаемых: первое слагаемое – годовые затраты на доставку товаров, второе слагаемое – годовые затраты на хранение запасов. В первом слагаемом затраты на доставку одной партии S умножаются на количество поставок партий товаров в течение года: N = D/Q. Во втором слагаемом средний уровень запасов AIL = Q/2 умножается на величину h – стоимость хранения одной единицы товара на складе в течение года, руб /(шт´год).

В этой формуле остаются неизвестными величины Q и h. Проще всего величину h можно рассчитать по формуле: h = IC. В этом случае стоимость хранения единицы товара включает в себя только капитальные затраты. Такой прием допустим, если капительные затраты составляют значительную долю в общем объеме затрат на хранение (см. табл. 1), в противном случае следует использовать более сложные методики расчета величины h. Итак, в результате, формула общих затрат приобретает следующий вид:

2. Оптимальная партия поставки, EOQ

Критерием оптимальности размера партии поставки Q является минимум общих зарат на пополнение и хранение запасов: min TC (см. рис. 1). Поэтому формулу расчета величины EOQ получаем в результате дифференцирования формулы TC:

Отсюда получаем формулу оптимальной партии поставки:

Теперь в рассматриваемом примере можно рассчитать сразу два параметра:

шт; руб/год.

3. Точка заказа, ROP

При расчете точки заказа следует учитывать, что в момента оформления заказа на складе должно находиться столько запасов, чтобы покрыть весь спрос до момента поставки очередной партии. В задаче известна длительность периода поставки: LT = 5 дн. Также легко определить среднедневной объем спроса, рассчитав его по формуле: d = D / 365 = 125000/365 = 342,5 шт/дн. Тогда точка заказа рассчитывается по формуле:

В рассматриваемом примере точка заказа составляет величину: ROP = 342,5 ´ 5 = 1712,5 » 1713 шт. Таким образом, при снижении текущего уровня запасов до величины 1713 шт производится оформление заказа на поставку очередной партии товара.

4. Средний уровень запасов, AIL:

AIL = Q / 2

Объяснение этой формулы уже приводилось выше. В рассматриваемом примере средний уровень запасов в течение года составляет AIL = 6245 / 2 = 3122,5 шт.

5. Количество поставок в течение года, N:

N = D / Q

Эта формула также рассматривалась нами при формальном описании общих затрат. В нашем примере получаем, что N = 125000 / 6245 = 20. Таким образом, в течение года на склад будет поставлено 20 партий товаров для пополнения уровня запасов.

6. Период заказа, Т:

T = Q / D

Период заказа является обратной величиной по отношению к количеству поставок партий товаров в течение года. В рассматриваемом примере получаем: T = 6245 / 125000 = 0,05 года. Разумеется, что в годах период поставки выражать неудобно, поэтому при расчетах лучше использовать другую формулу: T = 365 ´ (6245 / 125000) = 18,25 » 18 дн. Таким образом, ритм поставок в среднем составляет около 18 дней.

Модель точки заказа

От детерминированной базовой модели перейдем к более сложным, стохастическим моделям. Первой в их ряду стоит модель точки заказа. Введем в рассмотрение новый стохастический фактор – случайные колебания спроса. При этом величина годового объема спроса становится случайной величиной с нормальным законом распределения. Параметрами этой случайной величины являются:

D – среднее значение годового объема спроса, шт/год;

S_D – среднеквадратическое отклонение (СКО) годового спроса, шт/год.

Случайные колебания рыночного спроса создают для предприятия риск непокрытия спроса вследствие нехватки товарных запасов на складе. Поскольку запасы рассчитаны на покрытие только среднего объема спроса, то в случае, когда потребительский спрос за период Т превысит свое среднее значение, часть спроса останется неудовлетворенной. Вероятность события, при котором предприятия не может удовлетворить часть спроса, равна 50%, поскольку спрос может отклониться в большую и меньшую сторону от своего среднего значения с равной вероятностью.

Для того, чтобы избежать нежелательной для любого предприятия ситуации, когда спрос превышает запасы, или хотя бы уменьшить вероятность ее наступления (снизить риск непокрытия), на складе помимо текущего запаса создается также страховой запас. Текущий запас предназначается для покрытия среднего объема спроса за период Т. Тем самым он обеспечивает непрерывность торгового процесса, который состоит из циклов потребления запасов и их периодического восполнения. Страховой запас используется для покрытия дополнительного спроса, который возникает вследствие случайных колебаний на рынке.

Разумеется, что никакой склад не может позволить себе иметь неограниченный страховой запас. Вместе с тем, чисто теоретически амплитуда случайных колебаний спроса при нормальном распределении может быть сколь угодно большой. Поэтому всегда существует вероятность события, когда для покрытия потребительского спроса не хватит не только текущего, но и страхового запаса. Однако, чем больше страховой запас, тем меньше вероятность такого события.

Зададимся вопросом: какой величины должен быть страховой запас, чтобы обеспечить вероятность покрытия спроса на уровне, скажем, 95%? Ответ на этот вопрос будет получен в ходе решения следующей задачи:

Дано: D = 125000 – средний объем годового спроса, шт/год; S_D = 1480 – СКО годового спроса, шт/год; LT = 5 дн; C = 50 – стоимость единицы товара, руб/шт; S = 780 – затраты на доставку/производство партии товара (их постоянная часть, не зависящая от размера партии), руб; I = 10 – годовая норма прибыли (или ставка банковского процента), %/год; k = 4,50 – удельные издержки непокрытия, руб/шт; Pr = 95% – вероятность покрытия спроса за период LT (данный параметр позволяет регулировать величину страхового запаса, а вместе с ним и надежность модели).

Требуется рассчитать параметры модели точки заказа: EOQ; ROP; AIL; T; N; TC; SL (Service Level) – уровень сервиса, %.

Решение

1. Оптимальная партия поставки, EOQ

Формулы расчета перечисленных параметров базовой модели лишь частично отличаются от аналогичных параметров базовой модели. Так, например, формула расчета оптимальной партии поставки остается в модели точки заказа без изменения:

шт.

2. Точка заказа, ROP

Годовой объем спроса представляет собой случайную величину N, распределенную по нормальному закону с параметрами (D, S_D). Тогда объем спроса за период поставки LT также является случайной величиной N_LT, распределенной по нормальному закону с параметрами (X_LT, S_LT), которые рассчитываются по формулам:

= 125 000 ´ 5 / 365 = 1712,3

= 1480 ´ (5 / 365)^0,5 = 173,2

Здесь X_LT – средний объем спроса за период поставки LT, шт; S_LT – среднеквадратическое отклонение объема спроса за период LT, шт.

Напомним, что в базовой модели точка заказа определялась по формуле: ROP = X_LT = d´LT = 1712,3. Теперь к этой величине надо добавить величину страхового запаса, которая определяется следующим образом:

Рис. 2.4. Функция нормального распределения и величина страхового запаса

На этом графике используются следующие обозначения: x – множество значений случайной величины N_LT, распределенной по нормальному закону, f(x) – функция нормального распределения, F(x) – интегральная функция нормального распределения.

Кривая функции нормального распределения напоминает по форме колокол. Вершина колокола находится над точкой X_LT – это наиболее вероятное значение случайной величины N_LT. По мере отклонения от точки X_LT влево или вправо кривая понижается – вероятность значений уменьшается. Форма колокола определяется значением величины S_LT. При большом значении S_LT амплитуда колебаний случайной величины N_LT увеличивается – колокол будет иметь низкую тупую вершину и широкие пологие склоны. При небольшом значении S_LT амплитуда колебаний случайной величины N_LT уменьшается – колокол будет иметь высокую заостренную вершину и короткие крутые склоны.

Выберем на оси Ox некое конкретное значение x₀. Мы можем определить значение функции нормального распределения f(x­₀), а также значение интегральной функции нормального распределения F(x₀). Интегральная функция F(x₀) равна площади закрашенной фигуры, которая на оси Ox ограничена интервалом [–∞, x₀]. В данном конкретном случае закрашено 95% площади фигуры. Это означает, что случайная величина N_LT примет значение, не превосходящее величину x₀, с вероятностью 0,95, т.е. F(x₀) = P(N_LT < x₀) = 0,95.

Вернемся к точке заказа и определим новую формулу ее расчета:

ROP = X_LT + (x₀ – X_LT­) = x₀

Для того, чтобы найти величину x₀, воспользуемся следующим приемом. Рассчитаем нормированную величину z по формуле:

z₀ = (x₀ – X_LT­) / S_LT­

Величина z представляет собой случайную величину, которая также распределена по нормальному закону. При этом математическое ожидание величины z равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице. Тогда справедливо выражение:

F(x₀) = F’((x₀ – X_LT­) / S_LT) = F’(z₀),

где F’(z) – интегральная функция нормированной случайной величины z.

Пусть F’(z₀) = 0,95. Тогда по таблице А (см. приложение 1) определяем, что z₀ = 1,64. И тогда x₀ = X_LT + z₀ ´ S_LT или:

ROP = d ´ LT + z₀ ´ S_LT = 1712,3 + 1,64 ´ 173,2 = 1712,3 + 284 = 1996,3 » 1997.

Таким образом, оформление нового заказа производится при снижении запасов до уровня 1997шт. При этом величина страхового запаса составляет 284 шт, который позволяет обеспечить гарантированное покрытие спроса в течение периода поставки LT = 5 дн (т.е. с момента оформления заказа до момента его выполнения) с вероятностью 95%.

Чуть ниже мы проанализируем, каким образом с помощью параметра P_r можно регулировать величину страхового запаса и какие это будет иметь последствия для надежности системы в целом.

3. Средний уровень запасов, AIL:

AIL = Q / 2 + z₀ ´ S_LT

Данная формула состоит из двух слагаемых: средний уровень текущего запаса и страховой запас. Производим расчет: AIL = 6245 / 2 + 1,64 ´ 173,2 = 3122,5 + 284,0 = 3406,5 шт.

Следующие два показателя остаются без изменений.

4. Количество поставок в течение года, N:	5. Период заказа, Т:
N = D / Q = 125000 / 6245 = 20	T = Q / D = 6245 / 125000 = 0,05 год, или T = 365 ´ (6245 / 125000) = 18 дн.

6. Общие затраты, TC

В общих затратах, помимо стоимости доставки и стоимости хранения текущего запаса, учитываются две новые стоимостные составляющие: стоимость хранения страхового запаса и издержки непокрытия:

Первые два слагаемых подробно рассматривались в базовой модели. Рассмотрим два последних слагаемых. Напомним, что стоимость хранения единицы продукции в течение года рассчитывается по формуле: h = IC, а величина страхового запаса – это z₀´S_LT. Тогда третье слагаемое – это годовые затраты на хранение страхового запаса.

В четвертом слагаемом появляется новое условное обозначение: E(z) – интегральная функция непокрытия случайной величины Z. Формула функции E(z):

Функция E(z) используется для оценки наиболее вероятного объема непокрытия, т.е. той части спроса, которую фирма не сможет удовлетворить из-за отсутствия товаров на складе. Так, за период LT наиболее вероятный объем непокрытия составит величиу E(z₀) ´ S_LT, шт. Коэффициент k – удельные издержки непокрытия, т.е. те потери, которые несет фирма при непокрытии одной единицы продукции, на которую предъявлен спрос на рынке. Тогда выражение k´E(z₀)´S_LT означает издержки непокрытия за период LT, которые умножаются на количество поставок в течение года, или количество периодов LT в течение года: N = D / Q.

Определить величину E(z₀) можно с помощью таблицы B (см. приложение). Ее структура повторяет структуру таблицы A. Определим величину E(z₀) при z₀ = 1,64. Разобьем величину z₀ на два слагаемых: z₀ = 1,6 + 0,04. Найдем строку и столбец с соответствующими значениями и на их пересечении отыщем ячейку, которая будет содержать искомое значение: E(z₀) = E(1,64) = 0,0211.

Теперь произведем расчет общих затрат:

Итак, годовые затраты на управление запасами составляют 33 386 руб/год.

7. Уровень сервиса, SL

Уровень сервиса является показателем надежности системы запасов и представляет собой среднюю вероятность удовлетворения конкретного заказа, поступающего на склад от потребителя. Формула расчета величины SL:

Здесь величина (D/Q)´E(z₀)´S_LT представляет собой оценку наиболее вероятного годового объема непокрытия.

Произведем расчет: SL = 1 – 0,0211 ´ 173,2 / 6245 = 0,9987, или 99,87%. Отметим, что это очень высокий показатель надежности системы и что он гораздо больше величины P_r = 0,95. Объясняется это тем, что величина P_r отражает вероятность покрытия спроса только за период LT, когда текущий уровень запасов оказывается ниже точки заказа ROP. Во всех остальных случаях, когда уровень запасов выше точки заказа, вероятность покрытия, естественно, составляет 100%. В среднем же за год вероятность покрытия равна 99,94%.

Сравнить величины Pr и SL можно, используя следующую таблицу:

Pr	z0´SLT	TC	SL
50%		45 142	97,53%
75%		37 053	99,07%
90%		33 992	99,71%
95%		33 386	99,87%
99%		33 362	99,98%

Модель периода заказа

Модель периода заказа, как и предшествующая ей модель точки заказа, строится на основе базовой модели. Отличием моделей точки заказа и периода заказа заключается в одном важном, принципиальном различии в подходе к управлению запасами на складе, благодаря которому можно разграничить и сферы (или условия) применения обеих моделей. Обратимся к рисунку 2, где показана динамика изменения запасов на складе в базовой модели, в которой не учитывается фактор случайных колебаний спроса. Из рисунка следует, что двумя ключевыми параметрами модели являются размер партии поставки Q и период заказа T. В модели точки заказа делается предположение, что спрос ­– это случайная величина, распределенная по нормальному закону распределения. Это значит, что интенсивность спроса может отклоняться от своего среднего значения с равной вероятностью в большую или меньшую сторону. В модели точки заказа это ведет к тому, что период заказа Т также становится случайной, переменной величиной. В самом деле, если на складе текущий уровень запасов (обозначим его для удобства величиной q) равен своему максимальному значению (q = Q), то при высокой интенсивном спроса текущий уровень запаса быстрее снизится до точки заказа (q = ROP), а значит быстрее будет оформлен и выполнен новый заказ на поставку очередной партии товара. Таким образом, при высокой интенсивности спроса длительность периода заказа уменьшается (ТØ). И наоборот, при низкой интенсивности спроса текущий уровень запаса будет снижаться до уровня точки заказа медленнее, а значит оформление и выполнение нового заказа также затягивается во времени и длительность периода заказа увеличивается (ТÚ). В то же время, при переменной длительности периода заказа (Т ¹ const) второй параметр, размер партии поставки, остается строго фиксированной величиной (Q = const).

В модели периода заказа ситуация меняется на обратную. В данной модели также делается предположение, спрос – это случайная величина, распределенная по нормальному закону. Но на этот раз длительность периода заказа остается строго фиксированной (Т = const), а вот размер партии поставки превращается в переменную величину (Q ¹ const). В этом случае динамика изменения запасов на складе приобретает новый вид, как это показано на рисунке 4. Здесь сплошной чертой обозначается изменение текущего уровня запаса q. Предположим, что в нулевой момент времени текущий уровень запаса равен размеру партии поставки (q = Q). Далее начинается потребление запаса, которое продолжается до наступления момента оформления очередного заказа на поставку. Заметим, что этот момент строго фиксирован и может быть рассчитан в общем случае по формуле: t_k = T´k– LT , где k – номер партии поставки. Так, в самом начале процесса k = 1, а потому момент оформления заказа рассчитывается по формуле: t₁ = T – LT.

Предположим, что наступил момент оформления k-го заказа (t_k). Тогда производится расчет размера k-й партии поставки по формуле:

Q_k = M – q_k ,

где Q_k – размер k-й партии поставки, шт; q_k – текущий уровень запасов в момент оформления k-го заказа, шт; M = (Q + ROP) – максимальный уровень запасов, шт.

Отсюда следует, что в зависимости от величины q_k, размер k-й партии поставки может принимать разные значения. При высокой интенсивности спроса, размер k-й партии больше своего среднего размера (Q_k > Q), поскольку текущий уровень запаса оказывается ниже точки заказа (q_k < ROP). И наоборот, при низкой интенсивности спроса размер k-й партии меньше своего среднего размера (Q_k < Q), поскольку текущий уровень запаса оказывается больше точки заказа (q_k > ROP). Таким образом, в зависимости от интенсивности спроса размер партии поставки увеличивается (QÚ) или уменьшается (QØ).

Сфера применения моделей точки заказа и периода заказа, как уже было сказано, определяется описанным выше различием. Модель точки заказа применяется для управления запасами товаров, поставки которых осуществляются сравнительно редко, что позволяет сделать из нерегулярными. Очень часто, это неходовые товары, приобретаемые складом только для расширения ассортимента предлагаемой продукции. В этом случае управление запасом ведется по точке заказа: как только уровень запаса достиг критического уровня, оформляется новый заказ на поставку. Модель периода заказа, наоборот, применяется при достаточно частых поставках, когда для поставщика и покупателя гораздо удобнее установить определенный ритм поставок. Такая ситуация встречается при управлении ходовыми товарами. В этом случае управление ведется по длительности периода заказа: оформление нового заказа происходит через равные промежутки времени, строго в определенные дни.

Дано: D = 11000 – средний объем годового спроса, шт/год; S_D = 300 – СКО годового спроса, шт/год; LT = 4 дн; C = 53 – стоимость единицы товара, руб/шт; S = 320 – затраты на доставку/производство партии товара (их постоянная часть, не зависящая от размера партии), руб; I = 10 – годовая норма прибыли (или ставка банковского процента), %/год; k = 2,50 – удельные издержки непокрытия, руб/шт; Pr = 75% – вероятность покрытия спроса за период (Т+LT).

Требуется рассчитать параметры модели периода заказа: T; M; AIL; N; TC; SL.

Решение

1. Оптимальный период заказа, T

Если в базовой модели и модели точки заказа в начале требуется рассчитать оптимальную партию поставки EOQ, то в модели периода заказа прежде всего рассчитывается оптимальный период заказа:

год,

или Т = 0,05 ´ 365 = 38,2 » 38 дн.

2. Максимальный уровень запасов, М

Обратимся к рисунку 4, из которого следует, что среднее значение максимального уровня запасов М может быть выражена следующим образом:

шт.

где d – среднедневной объем спроса, шт/дн.

Однако на рисунке 4 не учитывается фактор случайных колебаний спроса, а потому к приведенной формуле необходимо также добавить величину страхового запаса:

где S_T+LT – это среднеквадратическое отклонение спроса за период (T+LT), шт.

Вероятность покрытия спроса за период (T+LT) составляет P_r = 75%, а потому z = 0,67, поскольку F(z) = F(0,67) = 0,75 (см. табл. А).

В основе расчетов величины M лежит случайная величина спроса за период (T+LT), имеющая нормальное распределение с параметрами (X_T+LT, S_T+LT). Средний объем спроса за период (T* +LT) составляет X_T+LT = d ´ (T*+LT). Добавляем к нему величину страхового запаса (z ´ S_T+LT), и получаем максимальный уровень запасов М.

3. Средний уровень запасов

Средний уровень запасов включает в себя усредненный текущий запас (Q/2) = (d´T)/2 и страховой запас:

шт.

4. Количество поставок в течение года:

5. Общие затраты

руб/год

Данная формула по своему существу не отличается от формулы, приведенной в модели точки заказ, но в ней сделаны две замены: Q = d´T и D/Q = 1/T.

6. Уровень сервиса

, или 98,6%.

% Вопросы для проверки знаний

1. Что такое материальный запас? Какие виды материальных запасов Вы знаете?

2. Проанализируйте затраты на управление запасов. Как величина этих затрат зависит от ритма и размера партии поставки?

3. Охарактеризуйте базовую модель управления запасами. Дайте определение понятий точки заказа и периода заказа, периода поставки.

4. В чем заключается отличия между базовой моделью, моделями точки заказа и периода заказа?

O Задания для самостоятельного решения