Итерационные методы решения СЛАУ

Напомним, что достоинством итерационных методов является их применимость к плохо обусловленным системам и системам высоких порядков, их самоисправляемость и простота реализации на ЭВМ. Итерационные методы для начала вычисления требуют задания какого-либо начального приближения к искомому решению.

Следует заметить, что условия и скорость сходимости итерационного процесса существенно зависят от свойств матрицы А системы и от выбора начальных приближений.

Для применения метода итераций исходную систему (1) или (2) необходимо привести к виду

(25)

и затем итерационный процесс выполняется по рекуррентным формулам

, k = 0, 1, 2, ... . (25*)

Матрица G и вектор получены в результате преобразования системы (1).

Для сходимости (25*) необходимо и достаточно, чтобы |l_i(G)| < 1, где l_i(G) – все собственные значения матрицы G. Сходимость будет также и в случае, если ||G|| < 1, ибо |l_i(G)| < " ||G|| (" – любой).

Символ || ... || означает норму матрицы. При определении ее величины чаще всего останавливаются на проверке двух условий:

||G|| = , или ||G|| = , (26)

где . Сходимость гарантирована также, если исходная матрица А имеет диагональное преобладание, т.е.

. (27)

Если (26) или (27) выполняются, метод итерации сходится при любом начальном приближении . Чаще всего вектор берут или нулевым, или единичным, или сам вектор из (25).

Имеется много подходов к преобразованию исходной системы (2) с матрицей А для обеспечения вида (25) или условий сходимости (26) и (27).

Например, (25) можно получить следующим образом.

Пусть А = В + С, det В ¹ 0;

тогда (B+С) = Þ B = −C + Þ B^–1B = − B^–1 C + B^–1 ,

откуда = − B^–1 C + B^–1 .

Положив –B^–1 C = G, B^–1 = и получим (25).

Из условий сходимости (26) и (27) видно, что представление А = В + С не может быть произвольным.

Если матрица А удовлетворяет требованиям (27), то в качестве матрицы В можно выбрать нижнюю треугольную

, a_ii ¹ 0.

Или

; Þ ; Þ ; Þ

.

Подбирая параметр a можно добиться, чтобы ||G|| = ||E + aA|| < 1.

Если имеет место преобладание (27), тогда преобразование к (25) можно осуществить просто, решая каждое i-е уравнение системы (1) относительно x_i по следующим рекуррентным формулам:

g_ij = − a_ij / a_ii ; g_ii = 0; f_i = b_i / a_ii , (27*)

т.е. .

Если же в матрице А нет диагонального преобладания, его нужно добиться посредством каких-либо ее линейных преобразований, не нарушающих их равносильности.

Для примера рассмотрим систему

(28)

Как видно в уравнениях (I) и (II) нет диагонального преобладания, а в (III) есть, поэтому его оставляем неизменным.

Добьемся диагонального преобладания в уравнении (I). Умножим (I) на a, (II) на b, сложим оба уравнения и в полученном уравнении выберем a и b так, чтобы имело место диагональное преобладание:

(2a + 3b) х₁ + (–1,8a + 2b) х₂ +(0,4a – 1,1b)х₃ = a .

Взяв a = b = 5, получим 25х₁ + х₂ – 3,5х₃ = 5.

Для преобразования второго уравнения (II) с преобладанием, (I) умножим на g, (II) умножим на d, и из (II) вычтем (I). Получим

(3d – 2g) х₁ + (2d + 1,8g) х₂ +(–1,1d – 0,4g)х₃ = −g .

Положим d = 2, g = 3, получим 0х₁ + 9,4х₂ – 3,4х₃ = −3. В результате получим систему:

(29)

Такой прием можно применять для широкого класса матриц.

Далее разделим в (29) каждое уравнение на диагональный элемент, получим

или

Взяв в качестве начального приближения, например, вектор = (0,2; –0,32; 0)^Т. Будем решать эту систему по технологии (25*):

k = 0, 1, 2, ...

Процесс вычисления прекращается, когда два соседних приближения вектора решения совпадают по точности, т.е.

.