Закономерности свободного и стеснённого падения частиц в водной и воздушной средах
Классификация происходит в условиях свободного или стесненного падения зерен. Свободное падение представляет собой движение единичных зерен в среде, исключающей их взаимное воздействие друг на друга. Под стесненным падением понимается движение множества зерен в виде такой массы, когда помимо гравитационных сил и сил сопротивления среды на движение зерен оказывает влияние динамическое воздействие непрерывно сталкивающихся окружающих зерен.
Скорость свободного падения зерна определяется соотношением силы тяжести, подъемной (архимедовой) силы и силы сопротивления среды, которая зависит от режима движения зерна.
При ламинарном режиме тело движется с малой скоростью, потоки среды как бы омывают его, не образуя завихрений. Сопротивление РВ определяется главным образом вязкостью среды μ и количественно описывается законом Стокса:
(2.5)
где v - скорость движения зерна; d - диаметр зерна.
Турбулентный режим движения характерен для высоких скоростей движения и сопровождается образованием вихрей у поверхности тела и позади него. Динамическое или инерционное сопротивление среды перемещению тела изменяется в этом случае по закону Ньютона — Риттингера:
(2.6)
где k — коэффициент (равный 1/2, по Риттингеру); F - площадь проекции тела (равна для шара);
— плотность среды.
В реальных условиях движущееся зерно испытывает одновременное действие как сопротивления от вязкости Рв, так и динамического сопротивления Рд, но степень их проявления различна. Характеристикой соотношения сил сопротивлений Рд и Рв и, следовательно, режима движения минерального зерна в среде является безразмерный параметр Рейнолъдса (Rе)
откуда в общем виде:
(2.7)
При значениях Rе < 1 наблюдается ламинарный режим движения частиц, размер которых не превышает 0,1 мм. При значениях Rе > 1000 и размере частиц более 2 мм наблюдается турбулентный режим движения. Переходной области от ламинарного к турбулентному режиму движения отвечают значения Rе от 1 до 1000, а крупность частиц от 0,1 до 2 мм. Сопротивление среды для этой области можно рассчитать по формуле Аллена:
(3.8)
Если подставить значение ц из формулы (3.7) в выражение (2.5) (2.9)
и сравнить выражения для Рд [формула (3.6)], для Ра[формула (2.8)] и для Рв [формула (2.9)], то обнаружим, что общий закон сопротивления среды движению зерна описывается формулой
P = Ψv2d2Δ (2.10)
где Ψ=.f(Re) — коэффициент сопротивления. Графическое изображение зависимости Ψ=.f(Re) в логарифмических координатах, носящее название диаграммы Рейлея (рис. 2.5, кривая Ψ), указывает на постепенный переход от ламинарного к турбулентному режиму движения по мере возрастания параметра Rе.
Рис. 2.5.Зависимость коэффициента сопротивления Ψ и параметра Re2Ψ от числа Рейнольдса (Rе)
Гравитационная сила G, вызывающая падение зерна, будет определяться весом тела в среде. В соответствии с законом Архимеда для шарообразного тела объемом
(2.11)
где δ — плотность зерна; g — ускорение силы тяжести.
Результирующая сила Р1ускоряющая движение зерна в среде, определится как разность между гравитационной силой G и силой сопротивления Р [формула (2.10)]
или
(2.12)
Увеличение скорости движения частиц в начальный момент под действием гравитационной силы вызывает возрастающее сопротивление среды и через доли секунды частица начинает падать с постоянной скоростью v0
В этих условиях и
откуда (для общего случая):
(2.13)
При ламинарном режиме, на основании уравнений (2.5) и (2.11):
(закон Стокса). (2.14)
При переходном режиме, на основании формул (2.8) и (2.11):
С учетом выражения для Rе:
(закон Алена) (2.15)
При турбулентном режиме, на основании формул (2.6) и (2.11):
(закон Риттингера). (2.16)
Универсальный метод, пригодный для определения конечных скоростей движения зерен любой крупности, плотности, формы, предложил П.В. Лященко. Он учел, что на основании формул (2.7) и (2.10) можно составить систему уравнений:
(2.17)
в результате совместного решения которой получим выражение для параметра Rе2 Ψ
(2.18)
Поскольку при установившемся движении Р = G, то, подставляя в формулу (2.18) вместо Р выражение для G из формулы (2.11), находим:
(2.19)
По уравнению (2.19) на основании известных параметров зерна и среды легко рассчитать значение параметра Rе2Ψ и использовать его для определения параметра Rе по диаграмме Rе2Ψ = f(Rе), построенной на основе диаграммы Рейлея Ψ =f(Re) и изображенной на рис. 2.5. После этого можно определить конечную скорость падения частицы или непосредственной подстановкой полученного значения Rе в формулу (2.7) или подстановкой значения Ψ, найденного по значению Rе на диаграмме Рейлея (см. рис. 2.5, кривая Ψ), в формулу (2.13).
Пример 1. Определить конечную скорость движения в воде зерна угля размером d = 25 мм (0,025 м), плотностью δ = 1350 кг/м3, принимая динамический коэффициент вязкости воды при температуре 293 К равным μ = 0,001 Н-с/м2, плотность Δ = 1000 кг/м3 g= 9,81 м/с2.
По формуле (3.19) значение Rе2Ψ равняется 2807×104. На диаграмме Rе2Ψ = f(Rе) (см. рис. 3.5) этому значению соответствует значение Rе = 12400. По формуле (3.7) v=v0= 0,496 м/с. Расчет скорости по формуле (3.13) для значения Ψ= 0,183 (соответствующего найденному значению Rе= 12400) показывает идентичные результаты.
Пример 2. Определить конечную скорость движения в воздухе зерна кварца размером d = 1 мм (0,001 м), плотностью δ = 2500 кг/м3, принимая динамический коэффициент вязкости воздуха μ = 0,00002 Н-с/м2, плотность Δ = 1,23 кг/м3.
По формуле (3.19) значение Rе2Ψ = 39 447. На диаграмме (см. рис. 3.5) этому значению соответствует Rе = 400. По формуле (3.7) скорость v=v0= 7, 18 м/с.
При расчете скоростей падения зерен неправильной формы пользуются эквивалентным диаметром dэ частиц, т. е. диаметром шара, одинакового с частицей объема:
и в расчетные формулы вводят поправочный коэффициент формы Кф, представляющий собой отношение поверхности равновеликого шара к поверхности зерна неправильной формы и равный: 1,0 — при шарообразной; 0,8—0,9 — -при округлой; 0,7 — 0,8 — при угловатой; 0,6 — 0,7 — при пластинчатой форме частиц.
Скорость стесненного падения vст зерен всегда меньше скорости их свободного падения vо (например, для кварца в 2,76 раза, для галенита в 3,47 раза). Установлена существенная зависимость скорости стесненного падения от степени разрыхления или взвешенности минеральных частиц в среде, характеризуемой коэффициентом разрыхления ΘР, равным отношению объема свободного пространства между зернами к полному объему, занимаемому разрыхленной смесью (значение всегда меньше 1). По П. В. Лященко,
(2.20)
Формула (2.20) пригодна для определения скорости стесненного падения зерен крупностью менее 0,2 мм при классификации тонкозернистого материала. Для определения уст более крупных зерен — от 0,2 до 12,5 мм — пользуются формулой Ханкока:
(2.21)
Зерна различной крупности и плотности, но имеющие одинаковые конечные скорости движения в среде, называются равнопадающими, т. е. v01=v02. В общем случае на основании формулы 2.13:
Откуда
(2.22)
Отношение диаметров равнопадающих легкого и тяжелого зерен называется коэффициентом равнопадаемости (е).
Обозначив через К1и К2постоянные коэффициенты, учитывающие влияние реологических параметров среды и формы соответственно для легких и тяжелых зерен на основании формул (2.14) — (2.16) находим:
для ламинарного режима движения [формула (2.14)]
(2.23)
для переходного режима движения [формула (2.15)]
; (2.24)
для турбулентного режима движения [формула (2.16]
(2.25)
В материале, поступающем на гравитационное обогащение, основанное на использовании различия скоростей падения разделяемых зерен, не должны присутствовать их равнопадающие зерна. Для этого материал подвергают предварительной классификации по крупности, шкала (модуль) которой не должна превышать коэффициент равнопадаемости.
Процесс классификации
В зависимости от конструкции классификатора процесс классификации может осуществляться в горизонтальном или восходящем потоке среды под действием гравитационных сил и сил сопротивления, а также в центробежном поле, где классифицируемые частицы испытывают дополнительное воздействие центробежных сил инерции.
При классификации в восходящем потоке (рис. 2.6, а) крупность зерен, выделяемых в слив (или пески), определяется соотношением скорости их падения v0 и скорости восходящего потока и.
Рис. 2.6. Схема процесса классификации в восходящих (а) и горизонтальных (б) потоках
Если для данного зерна v0 > и, то зерно перейдет в в пески, а если v0 < и, то зерно будет вынесено потоком в слив классификатора. При получении нескольких классов их выделение осуществляется при различных скоростях восходящих потоков. Отношение значений скоростей восходящих потоков, при которых происходит выделение смежных классов, называется коэффициентом шкалы гравитационной классификации SГ:
(2.26)
При классификации в горизонтальном потоке (рис. 2.6, б) каждая частица перемещается в горизонтальном направлении со скоростью горизонтального потока среды и и по вертикали под действием силы тяжести с конечной скоростью падения v0. При глубине сливающегося потока h и длине классификатора l частица уйдет со сливом, если <
, или в пески, если
>
. В граничных условиях
=
; v0=
и. Учитывая, что при ширине классификатора b и объеме его слива V:
, получаем:
(2.7)
т. е. при классификации в горизонтальном потоке скорость падения и, следовательно, крупность частиц, уходящих со сливом, не зависят от глубины потока, а определяются объемом слива V и площадью зеркала классификатора lb, Чем больше объем слива и меньше площадь зеркала классификатора, тем больше конечная скорость падения и крупность частиц, переходящих в слив.
Для классификации в центробежном поле используются или неподвижные цилиндрические аппараты, пульпа или аэросуспензия в которые подается под давлением (0,5—3,0)×105Па тангенциально к внутренней поверхности цилиндра, или вращающиеся обычно цилиндрические аппараты. Вращение пульпы и образование центробежных полей с ускорением в десятки и тысячи g позволяет резко снизить крупность разделения, по сравнению с гравитационной классификацией. Отношение ускорений центробежного аци гравитационного агсиловых полей называют фактором разделения Fразд
(2.28)
Его значение зависит от числа оборотов п, об/мин, и радиуса вращения R, м. Например, при Fразд - 100 частица крупностью 30 мкм будет двигаться в центробежном поле с той же скоростью, что и частица размером в 300 мкм в гравитационном поле.
На практике четкость разделения при классификации нарушается циркуляционным движением потока, перемешиванием частиц его турбулентными вихрями и другими причинами технологического характера. Поэтому в песках всегда присутствуют мелкие частицы, а в сливе — часть крупных. Оценку результатов и качества продуктов классификации, а также крупности разделения при классификации производят по результатам ситового анализа слива и песков (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Определение крупности разделения (3) при классификации по результатам ситового анализа слива (1) и песков (2)
При этом крупность разделения, по первому способу определяется абсциссой пересечения кривых гранулометрических характеристик слива и песков (рис. 2.7, а). Данная крупность разделения отвечает размеру такого зерна, засоренность продуктов по которому одинакова. По второму способу (рис. 2.7, 6) за крупность разделения принимают размер зерна, извлечение которого в слив и пески одинаково (равно 50 %). Эффективность классификации определяют обычно по формуле Ханкока-Луйкена
.