Корреляционное отношение и проверка гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости между признаками

По таблице распределения Фишера-Снедекора (или с помощью функции FРАСПОБР() программы Excel) находим критическое значение значение F-критерия Фишера-Снедекора с уровнем значимости α с k₁ = m – 1 и k₂ = n – m степенями свободы.

Если , то принимается гипотеза о наличии корреляционной зависимости между Y и X.

Если , то принимается гипотеза о наличии корреляционной зависимости между X и Y.

Для вычисления критического значения в программе Excel предназначена функция

FРАСПОБР(вероятность;степени_свободы1;степени_свободы2)

Вероятность — уровень значимости α.

Степени_свободы1 — число степеней свободы m – 1.

Степени_свободы2 — число степеней свободы n – m.

Пример 2.1 Задана таблица парных значений (табл. 2.2).

1) Вычислить выборочный коэффициент корреляции.

2) Проверить значимость коэффициента корреляции для уровня
α = 0,01.

3) Построить корреляционное поле.

Таблица 2.2

i	xi	yi	i	xi	yi	i	xi	yi
	0,43	2,66		0,32	2,52		0,52	3,54
	0,25	2,09		0,79	4,11		0,38	2,27
	0,52	2,89		0,70	4,52		0,32	2,04
	0,63	4,13		0,95	4,90		0,34	2,48
	0,01	0,26		0,60	3,81		0,28	2,14
	0,91	5,01		0,98	5,68		0,91	5,04
	0,41	2,44		0,75	4,03		0,90	4,97
	0,45	3,10		0,69	4,08		0,60	3,19
	0,05	0,89		0,46	2,57		0,45	2,45
	0,44	2,29		0,63	3,49		0,84	4,98

Решение. 1) Введите исходные данные в диапазоне А1:С31 (рис. 2.1, показаны первые десять строк из тридцати).

Войти в меню «Анализ данных», и в появившемся окне выберем функцию «Корреляция». Появится окно, показанное на рис. 2.2. В этом окне укажем входной интервал В1:С31, группирование «по столбцам», поставим флажок в строке «Метки в первой строке», в параметрах вывода выберем «Новый рабочий лист» и нажмем кнопку «ОК». Получим таблицу, показанную на рис. 2.3.

Рис. 2.2

Функция «Корреляция» из пакета «Анализ данных» предназначена для вычисления корреляционной матрицы, которая содержит коэффициенты корреляции r_ij между всевозможными парами (X_i, X_j), где X₁, X₂, …, X_k — признаки, между которыми исследуется статистическая связь. Функция «Корреляция» выдает симметричную корреляционную матрицу, диагональные элементы которой равны единице.

Рис. 2.3

На рис. 2.3 коэффициент корреляции содержится в ячейке В3 .

2) Для проверки значимости коэффициента корреляции вычислим значение Т_набл.

Для этого введите в ячейку D7 формулу

=D3*КОРЕНЬ((30-2)/(1-D3^2)).

Получим Т_набл = 23,57.

В ячейку D9 введите формулу =СТЬЮДРАСПОБР(0,01;28), получим значение критерия Стьюдента 2,763262442.

Так как T_набл = 23,57 > t_кр(α; k) = 2,7 , то делаем вывод: коэффициент корреляции значим с уровнем доверия 99%
(1 – 0,01 = 0,99).

Значение выборочного коэффициента корреляции положительно и близко к единице, что означает очень сильную прямую связь между рассматриваемыми признаками.

3) Выделим диапазон ячеек В1:С31 и с помощью мастера диаграмм построим диаграмму «Точечная». Получим график, изображенный на рис. 2.4.

Рис. 2.4

Из этого графика можно сделать вывод о том, что между X и Y есть линейная корреляционная зависимость, так как точки расположены близко к некоторой воображаемой прямой. Этот вывод подтверждается значением выборочного коэффициента корреляции.

Замечание. Мы не можем в данном примере вычислить выборочное корреляционное отношение, так как данные не сгруппированы в корреляционную таблицу.

Пример 2.2 Дана корреляционная таблица (табл. 2.3).

Таблица 2.2

yj xi
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5

1) Вычислить значение выборочного коэффициента корреляции и проверить значимость для уровня α = 0,05.

2) Вычислить выборочные корреляционные отношения и , и проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости между Y и X.

Решение. 1) Введите корреляционную таблицу в программе Excel в диапазоне A1:F6.

В ячейках G1, H1 и A7, A8 введите обозначения, как показано на рис. 2.5.

В ячейку G2 введите формулу =СУММ(B2:F2) и затем протянем маркером заполнения ячейку G2 до G6. Получим суммы частот n_xi.

В ячейку G7 введем формулу =СУММ(G2:G6). Получим объем выборки n = 50.

В ячейку В7 введите формулу =СУММ(B2:B6) и затем протяните маркером заполнения ячейку В7 до F7. Получим суммы частот n_yj.

В ячейку H2 введите формулу

=СУММПРОИЗВ(B2:F2;B$1:F$1)/G2

и затем протяните маркером заполнения ячейку H2 до H6. В диапазоне H2:H6 получим групповые средние .

В ячейку В8 введите формулу

=СУММПРОИЗВ(B2:B6;$A2:$A6)/B7

и затем протяните маркером заполнения ячейку В8 вправо до F2. В диапазоне B8:F8 получим групповые средние .

Рис. 2.5

Теперь в ячейку А9 введите текст «Коэфф. корреляции», а в В9 — формулу (2.5) для вычисления выборочного коэффициента корреляции:

=(50*СУММПРОИЗВ(A2:A6;G2:G6;H2:H6)-

СУММПРОИЗВ(A2:A6;G2:G6)*СУММПРОИЗВ(B1:F1;B7:F7))/

(КОРЕНЬ(50*СУММПРОИЗВ(A2:A6^2;G2:G6)-СУММПРОИЗВ(A2:A6;G2:G6)^2)*КОРЕНЬ(50*

СУММПРОИЗВ(B1:F1^2;B7:F7)-СУММПРОИЗВ(B1:F1;B7:F7)^2))

и нажмите комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Получим значение r = 0,74.

Замечание. В приведенной формуле используются операции с массивами. Например, A2:A6^2 означает, что содержимое каждой ячейки диапазона A2:A6 будет возводиться в квадрат.

Для проверки значимости коэффициента корреляции вычислим значение Т_набл. Для этого введите в ячейку C9 формулу

=B9*КОРЕНЬ((50-2)/(1-B9^2))

Получим Т_набл = 7,62.

В ячейку D9 введите формулу =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;48), получим значение критерия Стьюдента 2,01.

Так как T_набл = > t_кр(α; k) делаем вывод: коэффициент корреляции значим с уровнем доверия 95%.

Значение выборочного коэффициента корреляции положительно и близко к единице, что означает сильную прямую связь между рассматриваемыми признаками.

2) Введите в ячейку В10 формулу

=СУММПРОИЗВ((H2:H6-СУММПРОИЗВ(B1:F1;B7:F7)/50)^2;G2:G6)/

СУММПРОИЗВ((B1:F1-СУММПРОИЗВ(B1:F1;B7:F7)/50)^2;B7:F7)

и нажмите комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter.

В ячейку В11 введите формулу =КОРЕНЬ(В10). Получим значение η_yx = 0,749585091 ≈ 0,77.

Введите в ячейку С10 формулу =B10*45/4, а в ячейку D10 формулу =FРАСПОБР(0,05;4;45).

В ячейке С10 получим значение статистики F = 6,32, в ячейке D10 критическое значение . Следовательно, можно утверждать, что между Y и X есть корреляционная зависимость.

Так как выборочное корреляционное отношение η_yx = 0,75 почти совпадает с выборочным коэффициентом корреляции r_в = 0,74, мы можем заключить, что между Y и X есть линейная корреляционная зависимость.

Введите в ячейку В12 формулу для вычисления η_xy:

=СУММПРОИЗВ((B8:F8-СУММПРОИЗВ(A2:A6;G2:G6)/50)^2;B7:F7)/

СУММПРОИЗВ((A2:A6-СУММПРОИЗВ(A2:A6;G2:G6)/50)^2;G2:G6)

и нажмите комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter.

В ячейку В13 введите формулу =КОРЕНЬ(В12).

Получим значение η_xy = 0,74.

Для проверки значимости введите в ячейку С12 формулу =B12*45/4. Получим значение 6,2.

Критическое значение то же самое . Так как , можно утверждать, что между X и Y есть корреляционная зависимость.

Мы видим, что η_xy ≠ η_yx, но их значения близки значению коэффициента корреляции r_в = 0,74, поэтому мы можем заключить, что между X и Y есть линейная корреляционная зависимость.

Пример 2.3. 1) Смоделировать выборку (x_i, y_i) объема n = 100, где x_i — значения нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием a = 2 и среднеквадратическим отклонением σ = 1, а y_i = (x_i – 2)³.

2) Вычислить значение выборочного коэффициента корреляции и проверить значимость для уровня α = 0,05.

3) Вычислить выборочные корреляционные отношения и , и проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости между Y и X.

Решение. 1) Введите на рабочем листе Лист1 в ячейку А1 формулу =СЛЧИС(), в ячейку В1 — формулу =НОРМОБР(A1;2;1), в ячейку С1 — формулу =(А1-2)^3.

Выделите ячейки А1:С1 и протяните маркером заполнения вниз до строки А100:С100.

Выделите диапазон В1:С100 скопируйте в буфер, перейдите на Лист2, щелкните правой кнопкой мыши в ячейке А2, в контекстном меню выберите «Специальная вставка», в появившемся окне в разделе «Вставить» выбереите «значения» и нажмите «ОК».

Замечание. Функция СЛЧИС() пересчитывается при каждом обновлении листа, т.е. все значения диапазона А1:С100 рабочего листа Лист1 будут изменяться при изменениях на этом листе (при вводе формул и т.п.). Поэтому мы на листе Лист2 зафиксировали полученные случайные значения.

На рабочем листе Лист2 мы имеем искомую парную выборку (x_i, y_i) в диапазоне А2:В101 (рис. 2.6, показана только часть).

Рис. 2.6

2) В ячейку С2 введите формулу =КОРРЕЛ(A2:A101;B2:B101). Получим значение 0,827244738.

Для проверки значимости коэффициента корреляции вычислите значение Т_набл . Для этого введите в ячейку C4 формулу

=C2*КОРЕНЬ((100-2)/(1-C2^2)).

Получим Т_набл = 14,57582176.

В ячейку С6 введите формулу =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;98).

Получим значение критерия Стьюдента 1,9845.

Так как T_набл = > t_кр(α; k) делаем вывод: коэффициент корреляции значим с уровнем доверия 95%.

Значение выборочного коэффициента корреляции показывает сильную прямую корреляционную зависимость между рассматриваемыми признаками.

На самом деле между Y и X существует функциональная связь. Но эта связь нелинейная, поэтому значение выборочного коэффициента корреляции не равно единице.

3) Для вычисления корреляционного отношения необходимо построить корреляционную таблицу. Для этого создадим программу-макрос по следующему алгоритму:

Выполните команду меню «Сервис — Макрос — Редактор Visual Basic», в открывшемся окне выполните команду меню «Insert-Module» и введите текст программы KorTab(x, y, k) на языке Visual Basic:

Option Explicit: Option Base 0

Function KorTab(x, y, k)

Application.Volatile (False)

Dim i, j, m, n, ns, ns1 As Integer: Dim nxi(), nyj() As Integer

Dim nij(), xi(), yj(), axj(), ayi() As Variant

Dim minx, maxx, miny, maxy, hx, hy, s As Variant

n = Application.Count(x)

ReDim nij(k + 2, k + 2), xi(k), yj(k), axj(k), ayi(k), nxi(k), nyj(k)

minx = Application.WorksheetFunction.Min(x): maxx = Application.WorksheetFunction.Max(x)

miny = Application.WorksheetFunction.Min(y): maxy = Application.WorksheetFunction.Max(y)

hx = (maxx - minx) / (k - 1): hy = (maxy - miny) / (k - 1)

xi(0) = minx - hx / 2: yj(0) = miny - hy / 2

For i = 1 To k: xi(i) = xi(i - 1) + hx: yj(i) = yj(i - 1) + hy: Next i

For i = 1 To k: For j = 1 To k: For m = 1 To n

If (xi(i - 1) < x(m)) And (x(m) <= xi(i)) And (yj(j - 1) < y(m)) And (y(m) <= yj(j)) Then nij(i, j) = nij(i, j) + 1

Next m: Next j: Next i

For i = 1 To k: xi(i) = xi(i) - hx / 2: yj(i) = yj(i) - hy / 2: Next i

For j = 1 To k: s = 0: nyj(j) = 0: For i = 1 To k: nyj(j) = nyj(j) + nij(i, j)

s = s + xi(i) * nij(i, j): Next i: axj(j) = s / nyj(j): Next j

For i = 1 To k: s = 0: nxi(i) = 0: For j = 1 To k:

nxi(i) = nxi(i) + nij(i, j): s = s + yj(j) * nij(i, j): Next j: ayi(i) = s / nxi(i): Next i

ns = 0: ns1 = 0: For i = 1 To k: ns = ns + nyj(i): ns1 = ns1 + nxi(i): Next i

For i = 1 To k: nij(i, 0) = xi(i): nij(i, k + 1) = nxi(i): nij(i, k + 2) = ayi(i)

nij(0, i) = yj(i): nij(k + 1, i) = nyj(i): nij(k + 2, i) = axj(i)

Next i: nij(k + 1, k + 1) = ns: nij(k + 1, k + 2) = ns1

KorTab = nij

End Function

Для контроля правильности текст программы приведен ниже на рис.2.8.

Для вызова программы необходимо: 1) выделить диапазон ячеек, содержащий (k + 3) строки, (k + 3) столбца; 2) в строке формул ввести:

=KorTab(Диапазон_X; Диапазон_Y;Число_интервалов_k)

и, удерживая нажатыми клавиши Ctrl и Shift, нажать Enter.

Диапазон_X — диапазон ячеек, содержащий значения X;

Диапазон_Y — диапазон ячеек, содержащий значения Y;

Число_интервалов_k — число интервалов группировки выборки.

Программа строит квадратную матрицу частот [n_ij] порядка k, находит середины интервалов и , условные средние и , частоты и . Результаты выводятся в массив размера (k + 3) строки, (k + 3) столбца.

После ввода текста программы перейдите на Лист2, выделите диапазон ячеек D1:P13, в строке формул введите

=KorTab(A2:A101;B2:B101;10)

и нажатмите комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Мы получим корреляционную таблицу (рис.2.7). Здесь первый параметр соответствует массиву значений показателя X, второй параметр — массиву значений показателя Y, третий параметр — числу интервалов группировки выборки.

В строке E1:N1 получены середины интервалов группировки показателя Y, а в столбце D2:D11 — середины интервалов группировки показателя X, в диапазоне E2:N11 (выделен рамкой) — частоты n_ij, в строке E12:N12 — частоты , в строке E13:N13 — условные средние , в столбце О2:О11 — частоты , в столбце P2:P11 — условные средние , в ячейках O12, P12 выведены для контроля суммы

Рис.2.7

Вычислим корреляционное отношение . Для этого введите в ячейку Q2 формулу

=СУММПРОИЗВ((P2:P11-СУММПРОИЗВ(E1:N1;E12:N12)/100)^2;O2:O11)/

СУММПРОИЗВ((E1:N1-СУММПРОИЗВ(E1:N1;E12:N12)/100)^2;E12:N12),

а в ячейку Q3 — формулу =КОРЕНЬ(Q2). Получим значение 0,969389943.

Вычислим корреляционное отношение . Для этого введите в Q4 формулу

=СУММПРОИЗВ((E13:N13-СУММПРОИЗВ(D2:D11;O2:O11)/100)^2;E12:N12)/

СУММПРОИЗВ((D2:D11-СУММПРОИЗВ(D2:D11;O2:O11)/100)^2;O2:O11)

и в ячейку Q5 введите формулу =КОРЕНЬ(Q4). Получим значение 0,902441781.

Полученные значения = 0,97 и = 0,90 близки к единице, что подтверждает наличие нелинейной корреляционной связи между признаками. Значимость можно не проверять, так как значения близки к единице и объем выборки большой (n = 100).

Замечание. При построении корреляционной таблицы мы фактически заменили выборочные значения показателей средними значениями интервалов группировки. Это привело к небольшому искажению картины — нелинейная функциональная зависимость между исходными показателями соответствует сильной нелинейной корреляционной зависимости между сгруппированными показателями. По этой же причине выборочные характеристики, построенные по корреляционной таблице, будут только приближенно совпадать с выборочными характеристиками, полученными для исходной выборки.

Рис.2.8