ІII. Диференціальні рівняння. 1. Означення диференціального рівняння.
1. Означення диференціального рівняння.
це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. При цьому, в самому рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні
2. Інтегральна крива.
Графік розв’язку ДР називається інтегральною кривою.
3. Загальний розв’язок диференціального рівняння.
Загальним розв'язком ДР першого порядку називається функція , що містить одну довільну постійну і задовольняє умовам:
1. Функція є розв'язком ДР при кожнім фіксованому значенні с.
2.Яке б не була початкова умова, можна знайти таке значення постійної , що функція задовольняє даній початковій умові
4. Частковий розв’язок диференціального рівняння.
Частинним розв'язком ДР першого порядку називається будь-яка функція , отримана з загального розв'язку при конкретному значенні постійної
5. Теорема існування та єдиності розв’язку рівняння першого порядку.
Нехай y' = f(x, y) - деяке диференційне рівняння першого порядку, і f(x, y) є неперервною в деякій відкритій області G, і похідна також є неперервною на G. Тоді розв'язок задачі Коші існує і він єдиний у цій області.
6. Диференціальні рівняння з розділеними змінними.
Найбільш простим ДР першого порядку є, рівняння виду
У ньому один доданок залежить тільки від , а інший — від . Іноді такі ДР називають рівняннями з відокремленими змінними.
7. Означення однорідної функції.
Функція f(x;y) називається однорідною функцією -го порядку (виміру), якщо при множенні кожного її аргументу на довільний множник λ вся функція збільшиться на λn, тобто .
8. Однорідні диференціальні рівняння.
Диференціальне рівняння називається однорідним, якщо функція є однорідна функція нульового порядку.
9. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо його можна записати у вигляді ,
10. Означення лінійного диференціального рівнянння зі сталими коефіцієнтами.
Рівняння, що є лінійним відносно невідомої функції та її похідної, розв’язок неоднорідного рівняння шукається в такому ж вигляді, як і розв’язок однорідного
11. Фундаментальна система розв’язків лінійного рівняння зі сталими коефіцієнтами.
12. Характеристичне рівняння і характекристичні числа.
Однорідна система має нетривіальні Рівняння , числа , для яких існує ненульовий вектор
13. Розв’язки однорідного рівняння з сталими коефіцієнтами у випадку дійсного характеристичного числа.
14. Випадок комплексних характеристичних чисел.
15. Загальний розвязок однорідного рівняння зі сталими коефіцієнтами.
16. Розв’язок лінійного неоднорідного рівняння з сталими коефіцієнтами.
IV. Ряди
1. Означення числового ряду.
Числовим рядом називається вираз
2. Частинні суми ряду.
Сума перших членів ряду (1.1) називається -ою частинною сумою ряду і позначається через , тобто .
3. Збіжний, розбіжний ряди.
Ряд збіжний якщо існує скінченна границя, ряд розбіжний якщо границя дорівнює нескінченності
4. Необхідна умова збіжності ряду.
Якщо ряд збігається, то його загальний член и прямує до нуля, тобто = 0.
5. Геометричний ряд.
, який називається рядом геометричної прогресії.
6. Властивості геометричного ряду.
1. Якщо | | <1, ряд збігається
2. Якщо | | > 1 або | | = 1, ряд розбіжний
7. Гармонійний ряд.
8. Узагальнено гармонійний ряд.
9. Властивості узагальнено гармонійних рядів.
Ряд збігається при , розбіжний при
10. Ознака порівняння збіжності рядів з додатніми членами.
11. Ознака Даламбера.
Нехай дано ряд з додатніми членами і існує нескінченна границя Тоді ряд збігається при <1 і розбіжний при > 1
12. Ознака Коші.
Нехай даний ряд з додатними членами і існує нескінченна границя Тоді ряд збігається при <1 і розбіжний при .
13. Знакозмінні ряди.
Законозмінний ряд це ряд члени якого є довільні числа довільного знака.
14. Ознака Лейбніца.
Ряд збігається, якщо послідовність абсолютних величин членів ряду монотонно спадає, тобто
15. Абсолютно збіжні ряди.
Знакозмінний ряд називається тим, що абсолютно збігається,якщо ряд, складений з модулів його членів, збігається.
16. Умовно збіжні ряди.
Знакозмінний ряд називається тим, що умовно збігається, якщо сам він збігається, а ряд, складений з модулів його членів, розбіжний.
17. Степеневі ряди.
18. Радіус збіжності степеневого ряду.