Приклади питань до тестового контролю

1. На чому базуються розрахункові формули в методі ЕТБ?

2. Які процеси мають місце в вузлових точках в несталому стані?

3. Які основні особистості метод у елементарних теплових балансів?

4. Що необхідно зробити для забезпечення стійкості розрахунку в методі ЕТБ?

5. Що визначається в методі ЕТБ?

МЕТОД КОНТРОЛЬНОГО ОБ’ЄМУ

Основні положення методу контрольного об’єму

У чисельних методах як основні невідомі розглядаються значення залежної змінної в кінцевому числі точок (званих сітковими вузлами або вузловими точками) розрахункової області. Методи включають здобуття системи рівнянь алгебри для цих невідомих і алгоритм вирішення цих рівнянь.

Концепція дискретизації.Розглядаючи значення у вузлових точках, ми замінюємо безперервну інформацію, що міститься в точному вирішенні диференціального рівняння, дискретними значеннями. Таким чином, ми дискретизуємо розподіл температури Т, і цей клас чисельних методів назвемо методами дискретизації.

Рівняння алгебри, які назвемо дискретним аналогом вихідного рівняння, що включають невідомі значення Т у вибраних вузлових точках, виходять з диференціального рівняння, що описує зміну величини Т. Дискретний аналог є алгебраїчним рівнянням, що зв'язує зміну Т в деякій групі вузлових точок. Це рівняння виходить з диференціального рівняння, що описує зміну Т, і, отже, воно несе ту ж інформацію, що і диференціальне рівняння. Передбачається, що при дуже великому числі вузлових точок вирішення дискретних рівнянь зближується з точним вирішенням відповідного диференціального рівняння.

Метод контрольного об'єму

Основна ідея методу легко зрозуміла і піддається прямій фізичній інтерпретації [3]. Розрахункову область розбивають на деяке число контрольних об'ємів, що не перетинаються, таким чином, що кожна вузлова точка міститься в одному контрольному об'ємі. Диференціальне рівняння інтегрують за кожним контрольним об'ємом. Для обчислення інтегралів використовують кускові профілі, які описують зміни Т між вузловими точками. В результаті знаходять дискретний аналог диференціального рівняння, в який входять значення Т в декількох вузлових точках. Як рішення розглядаються лише значення T у вузлових точках і не робиться жодних явних вказівок про характер зміни Т між цими точками. Інтерполяційні формули або профілі розглядатимемо як допоміжні, необхідні для розрахунку інтегралів. Після здобуття дискретних аналогів припущення про характер профілів можна не враховувати.

Для прикладу розглянемо стаціонарне одновимірне рішення теплопровідності, що описується рівнянням

, (4.1)

де l – коефіцієнт теплопровідності;

S – швидкість виділення теплоти в одиниці об'єму.

Для здобуття дискретного аналога використовуємо показане на рис. 4.1 розташування вузлових точок. В центрі нашої уваги знаходиться точка Р, оточена точками Е і W. Штрихом показані кордони контрольного об'єму. Припустимо, що розміри контрольного об'єму в напрямах Y і Z дорівнюють одиниці. Таким чином, об'єм показаного контрольного об'єму рівний V=1*1* .

(dx)_w (dx)_e

W P E X

w e

∆x

Рис. 4.1 Шаблон вузлових точок для одновимірної задачі.

Інтегруючи (4.1) за контрольним об’ємом, отримуємо

. (4.2)

Зробимо припущення про вигляд профілю або інтерполяційної формули. На рис. 4.2 показано два прості профілі.

У найпростішому випадку припускається, що значення Т у вузловій точці зберігається для всього контрольного об'єму, що оточує її; це припущення призводить до показаного на рис. 4.2а ступінчастого профілю. Для такого профілю похідна dT/dx на межах контрольного об'єму (тобто в точках W і Е) не визначена. Ця трудність не виникає для кусочно-лінійного профілю (рис. 4.2б), в якого зміна Т між вузловими точками описується лінійними інтерполяційними функціями.

T T

X X

W w P e E W w P e E

Рис. 4.2 Прості апроксимації профілів:

а) ступінчастий профіль;

б) кусочно -лінійний профіль.

Дискретний аналог.Використавши для визначення dT/dx в рівнянні (4.2) кусочно-лінійний профіль, отримаємо

, (4.3)

Де - середнє за контрольним об’ємом значення швидкості виділення теплоти.

Запишемо рівняння (4.3) в наступному вигляді:

, (4.4)

де ; ;

; . (4.5)