Система одночасних рівнянь

Для оцінювання системи одночасних рівнянь розглянемо модель

де - облікова ставка НБУ, - грошовий агрегат М2, - ВВП, - інвестиції.

Обидва рівняння системи є строго ідентифікованими, отже застосовуємо непрямий метод найменших квадратів:

z=list(r~m2+yt, yt~r+inv)

fms=systemfit(z,method="SUR")

summary(fms)

systemfit results

method: SUR

N DF SSR detRCov OLS-R2 McElroy-R2

system 46 40 876932684 1935792727 0.80107 0.957149

N DF SSR MSE RMSE R2 Adj R2

eq1 23 20 3.0322e+03 151.61 12.313 0.68255 0.650807

eq2 23 20 8.7693e+08 43846482.57 6621.668 0.80107 0.781177

The covariance matrix of the residuals used for estimation

eq1 eq2

eq1 141.348 35512.7

eq2 35512.731 38099658.2

The covariance matrix of the residuals

eq1 eq2

eq1 151.61 68642.4

eq2 68642.41 43846482.6

The correlations of the residuals

eq1 eq2

eq1 1.000000 0.841901

eq2 0.841901 1.000000

SUR estimates for 'eq1' (equation 1)

Model Formula: r ~ m2 + yt

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 82.200705295 8.978289497 9.1555 1.3653e-08 ***

m2 -0.000223850 0.000202598 -1.1049 0.2823197

yt -0.001036269 0.000317699 -3.2618 0.0039037 **

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 12.313008 on 20 degrees of freedom

Number of observations: 23 Degrees of Freedom: 20

SSR: 3032.203552 MSE: 151.610178 Root MSE: 12.313008

Multiple R-Squared: 0.682552 Adjusted R-Squared: 0.650807

SUR estimates for 'eq2' (equation 2)

Model Formula: yt ~ r + inv

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 50064.399982 3799.527571 13.17648 2.5600e-11 ***

r -495.453785 66.932776 -7.40226 3.7868e-07 ***

inv 1.218453 0.360274 3.38202 0.0029616 **

---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 6621.667658 on 20 degrees of freedom

Number of observations: 23 Degrees of Freedom: 20

SSR: 876929651.445334 MSE: 43846482.572267 Root MSE: 6621.667658

Multiple R-Squared: 0.80107 Adjusted R-Squared: 0.781177

Отже, було знайдено оцінки непрямого методу найменших квадратів для даної системи строго ідентифікованих рівнянь. Коефіцієнти детермінації окремих рівнянь вказують на відносно тісний лінійний зв'язок, змінні є значущими. Коефіцієнти детермінації моделі доволі близький до 1, отже, вона достатньо непогано відображає реальну економічну дійсність.

Висновки

У даній роботі було досліджено споживання товарів та послуг у грошовому виразі з 1го кварталу 2006 по 3й квартал 2011 року, а також була оцінена модель грошового ринку, що являє собою систему одночасних рівнянь взаємозв’язку ставки НБУ, інвестицій, ВВП, та грошової маси.

Дослідивши першу модель було виявлено, що існує лінійна залежність між витратами населення на товари та послуги і рівнем заробітної платні, прибутку та змішаного доходу, доходів від власності та одержаних трансфертів, при чому усі змінні є значущими, а побудована модель - адекватною.

За гіпотезою про значення у базовій моделі коефіцієнт при заробітній платні з 95% рівнем надійності може бути прийнятим за 1. Це означає, що при зміні заробітної платні на 1 у.о. витрати на споживання зміняться на 1 у.о. в тому ж напрямку.

Незважаючи на кризу, модель виявилась стійкою. Це означає, що цю модель та отримані оцінки коефіцієнтів можна використовувати як для докризового періоду досліджень, так і для післякризового.

При введенні фіктивних змінних сезонності усі змінні у моделі стали значущими. Це означає, що існує істотний сезонний вплив на витрати на товари та послуги.

У даній моделі була виявлена мультиколінеарність. Це пов’язано з невеликою кількістю спостережень, а також з тим, що досліджувані фактори мають спільний тренд, а отже, можуть поводити себе подібним чином.

Критерій Голфельда – Квондта виявив у моделі гетероскедастичність, тобто для більшого рівня доходів може бути характерним більший розкид у витратах на споживання.

За допомогою критерію Уайта гетероскедастичність була усунена, при чому у вихідній моделі коефіцієнт детермінації є рівним 1. Це означає, що за умови рівності збурень характер зв’язку регресорів та регресанта у моделі є лінійним, а відношення суми квадратів залишків до поясненої дисперсії є фактично рівним нулю.

Критерієм Дурбіна-Уотсона була виявлена автокореляція. Припустивши, що процес є авто регресією 1го порядку, автокореляція була усунена.

Отримана в результаті цих перетворень модель найкращим чином пояснює зв'язок між змінними.

Друга модель включала в себе 2 рівняння – залежність ставки НБУ від М2 та ВВП, а також ВВП від інвестицій та ставки НБУ.

При цьому екзогенними були змінні М2 та інвестиції, а відповідно ставка НБУ та ВВП – ендогенними. Обидва рівняння системи виявились строго ідентифікованими.

Для системи строго ідентифікованих рівнянь було знайдено оцінки непрямого методу найменших квадратів. Коефіцієнти детермінації окремих рівнянь показали відносно тісний лінійний зв'язок, змінні виявилися значущими. Коефіцієнти детермінації моделі загалом доволі близький до 1, отже, вона достатньо непогано відображає реальну економічну дійсність.