Аналог теореми Андронова – Вітта

Диссипативні системи

Розглядаємо дійсну нелінійну систему:

де , причому забезпечено властивість єдності розв’язків

Означення:

Систему (1) будемо називати дисспасивною, якщо всі її розв’язки можна нескінченно продовжувати вправо і існує число R>0,таке що

Означення:

Будемо говорити, що V(t,y) володіє властивістю A в області Z, якщо існує додатна непереривна зростаюча функція така, що

Говорять, що V(t,y) володіє властивістю B в області Z, якщо існує непереривна неспадна функція така, що
причому

Будемо говорити, що V(t,y) володіє в області Z властивістю C відповідно даної системи (1), якщо існує додатна непереривна функція така, що

де – повна похідна по функції в силу системи (1).

Теорема Йосидзави

Нехай по зовнішності деякого циліндра

де , для системи (1) існує функція Ляпунова , яка володіє властивостями A,B і C. Тоді система (1) рівномірно дисспасивна відповідно початкового момента , число можна вибрати тільки залежним від

Рівняння в варіаціях

Розглядаємо систему диференціальних рівнянь:

де

Нехай розв’язок системи (1) який задовольняє умову: Позначимо

Тоді будемо мати

Звідси застосовуючи теорему про середнє, отримаємо
де рівномірно по t на кожному скінченному відрізку , лінійну систему
яка являє собою лінеаризовану систему (3), називається рівнянням в варіаціях для системи (1) відносно її розв’язку 𝜂(t) (система першого наближення).

Лема:

Якщо система (1) автономна і є її розв’язком, то буде розв’язком її рівнянь в варіаціях.

Теорема Ляпунова:

Якщо характеристичні показники рівняння в варіаціях для даного періодичного розв’язку мають від’ємні дійсні частини, то цей періодичний розв’язок асимптотично стійкий при .

Орбітальна стійкість

Розглянемо дійсну автономну систему

де

Означення 1:

Якщо є розв’язком системи (1) сукупність точок фазового простору називається траєкторією розв’язку.

Означення 2:

Розв’язок системи (1) називається орбітально стійким при якщо додатні траєкторії всіх розв’язків , достатньо близьких в початковий момент до розв’язку , на далі повністю містяться в ɛ-околі додатної пів траєкторії даного розв’язку

де досить мале; для будь-якого існує таке, що
то

Означення 3:

Орбітально стійкий розв’язок називається асимптотично орбітально стійким, якщо існує таке , що для всіх розв’язків , які задовольняють нерівність
виконується відношення .

Зауваження:

Із стійкості розв’язка, очевидно, випливає його орбітальна стійкість. Але із орбітальної стійкості розв’язку, взагалі кажучи не випливає його стійкість за Ляпуновим, а тим більше асимптотична стійкість.

Лема 1:

Якщо автономна система (1) має нетривіальний - періодичний розв’язок , то для відповідних рівнянь в варіаціях
які являють собою лінійну періодичну систему, по меншій мірі один із її мультиплікаторів , то по крайні мірі один із характеристичних показників системи (5) дорівнює нулю.

Означення 4:

Будемо говорити, що розв’язок має властивість асимптотичної фази, якщо для кожного розв’язку , задовольняючого початкову нерівність (4), де достатньо мале, існує число (асимптотична фаза) таке, що

Лема 2:

Орбітально стійкий розв’язок з асимптотичною фазою асимптотично орбітально стійкий.

Аналог теореми Андронова – Вітта

В цьому пункті буде встановлено достатні умови орбітальної стійкості періодичного розв’язку автономної системи.

Лема 1:

Нехай дійсна періодична система
де має один мультиплікатор , а модулі всіх інших її мультиплікаторів менші одиниці . Тоді для системи (1) існує фундаментальна матриця спеціального виду:
де –дійсна неособлива -періодична неперервно диференційована -матриця, – дійсна стала -матриця, всі характеристичні корені якої мають від’ємні дійсні частини:

Лема 2:

Нехай фундаментальна матриця системи (1) вигляду (2) і
– одинична матриця відповідного порядку. Тоді матриця володіє наступними властивостями

1)

2)

3)

де сталі

4) вектор – функція
де сталий вектор з нульовою першою координатою
і
є розв’язком неоднорідної системи

Розглянемо тепер дійсну автономну систему
де , і нехай -періодичний розв’язок такий, що Рівняння в варіаціях мають вигляд