Атематическая модель задачи учета и анализа хода производства

ЛК

Охарактеризуйте особенности и цели планирования управления предприятием на разных уровнях и горизонтах.

Планирование

Как правило, планирование управления предприятием происходит на пяти уровнях, которые отличаются горизонтом и степенью подробности планирования.

1 Стратегический бизнес-план (горизонт около 5 лет)

2 План продаж и производства (1 год)

3 Основной производственный план и финансовый план (квартал)

4 Планирование потребности в материалах и ресурсах (месяц или более)

5 Оперативно-календарный план (месяц или более) – по неделям, дням сменам.

Схематически соотношение глубины детализации и плановых горизонтов различных планов предприятия представлено на рисунке.

22 Обобщённая математическая модель планирования производства

Любому предприятию можно сопоставить множество предметов труда U, состоящее из покупных изделий и материалов, деталей и узлов, а также множество ресурсов R (под ресурсами понимаем активную часть основных фондов и рабочую силу), служащих для преобразования одних предметов труда в другие.

К числу основных элементов формализованного описания системы управления промышленным предприятием относится понятие операции, которая характеризуется тремя величинами Us, Vs, Rs, где Us и Vs — соответственно множества входов и выходов операции S, представляющие собой подмножества множества U; Rs — подмножества множества R. Предполагается, что у технологических операций входное и выходное множества не пересекаются и процесс изготовления изделий не имеет петель. Тогда последний может быть изображен в виде ориентированного ацикличного графа G с конечным числом вершин S, под каждой из которых имеется в виду операция, а под дугой подразумевается отношение их непосредственного предшествования. Кроме указанного отношения дуга, соединяющая вершины S и S', характеризуется:

а) множеством D_SS¢,= V_S Ç US' предметов труда, поступающих с операции S на операцию S';

б) вектором применяемости a_SS¢ предметов труда, подаваемых с операции S на операцию S¢, компонента aⁱ_SS¢ которого означает минимальное число i единиц предмета труда, необходимое для минимального технологически обусловленного (единичного) включения операции S'.

Подобный граф может быть использован при формализации производственной деятельности как предприятия в целом, так и любого его структурного! подразделения (цеха, производственного участка).

Операции описываются следующими характеристиками. Под размером партии n_S на операции S понимается число одноименных операций, выполняемых с одной наладки станка. Ресурсы, привлекаемые к данной операции S, определяются применяемостью x_gS gÎR_S. Длительность операции t_S зависит от размера партии и фактической применяемости ресурсов x_gS т.e. t_S= t_S(n_S, x_gS) gÎR_S фаз управления.

В самом общем виде задача планирования (построение программной траектории) выглядит следующим образом:

где u(t) — вектор управления; x(t) — вектор, описывающий процесс функционирования предприятия. Компонентами х(t) являются числа изделий (продуктов деталеопераций либо продуктов агрегированных деталеопераций) в момент времени t; Р₀ — заданный уровень вероятности; [tn, tk] — горизонт планирования; X(t) и U(t) — области допустимых значений векторов x(t) и u(t) соответственно, определяемые топологическими ограничениями конструкторско-технологического графа, ограничениями технико-промышленного финансового плана предприятия (основными и оборотными фазами, планом выпуска, объемом труда и материальными ресурсами реализации и др.) и т. д.; F — некоторый функционал, найденный на программных траекториях x(t) и u(t).

Поскольку предприятие функционирует в условиях неопределенности среды, то в общем случае векторы x(t) и u(t) зависят от некоторого набора факторов неопределенности.

Конкретные локальные модели планирования конкретизируются выбором целевой функции F, векторов x(t) и u(t) и их областей допустимых значений, а также выбором горизонта планирования [tn, tk], а он, вообще говоря, может быть разбит на интервалы. Не изменяя общности, можно считать, что целевые функции локальных моделей планирования ориентированы на глобальную целевую функцию, в качестве которой выступает прибыль.

23 Математическая модель выбора оптимального производственного плана (объемное планирование).

В основу построения названной модели положены следующие гипотезы.

1. Модель формируется в терминах объемов готовых изделий на горизонт планирования [tn, tk].

2. Себестоимость единицы готового изделия в разрезе прямых затрат (материальных и трудовых) вычисляется как сумма математических ожиданий материальных и трудовых затрат (последние находятся с помощью статистики трудозатрат).

3. Незавершенное производство можно представить в виде

где I — множество готовых изделий; Ni — план выпуска i-гo готового изделия (iÎI); Wi — весовые коэффициенты, получаемые путем разнесения норматива незавершенного производства за предшествующий плановый период по готовым изделиям пропорционально прямым затратам.

4. Ограничения по ресурсам берутся по объему за горизонт. Тогда модель выбора оптимальной производственной программы формулируется следующим образом:

где целевая функция F₁ представляет собой составляющую прибыли, зависящую от управляемых параметров,

а область Х₁ определяется неравенствами

В формулах (3) — (6) bⁱ₁₁ и b^j₁₂ — коэффициенты, вычисленные с учетом гипотез 2, 3; В — множество варьируемых видов ресурса; z_j — число покупаемых (или продаваемых) единиц ресурса j; z^j₀ — наличное число единиц ресурса j; d_j — стоимость единицы ресурса j; D – денежный фонд развития производства; Bj — множество операций, выполняемых на ресурсе j; h_ui – сводная применяемость операции u в готовом изделии i с учетом технологического брака; tu — штучное время на операции u при нормативной применяемости ресурса с учетом наладок (по статистике за предшествующий период); M_j – фонд времени единицы ресурса j в горизонте планирования (случайная величина).

В ряде практических случаев область Х₁ может определяться и другими ограничениями, с одной стороны, либо снятием некоторых из них, с другой.

атематическая модель задачи учета и анализа хода производства

Задача учета заключается в фиксации вектора состояния в некоторые моменты времени, разделенные дискретой съёма информации. В зависимости от экономической интерпретации программы мы приходим к классификации задач учета на оперативный учет, бухгалтерский, статистический и т. д. Дискрета Dt съема информации должна быть разной для различных вершин конструкторско-технологического графа, поскольку каждая из них характеризуется своей степенью стохастичности. Поэтому в отношении кратности дискрет можно считать, что

где S — множество вершин конструкторско-технологического графа.

Между тем величина дискрета съема информации ограничена снизу возможностями средств регистрации, передачи и обработки информации.

Информация о фактическом состоянии хода производства в моменты ее съема в системе не совпадает с программным состоянием, вычисленным в те же самые моменты времени, в задаче планирования. Поэтому нужна оценка несовпадений плановых состояний с фактическими, т. е. необходим анализ имеющейся информации для последующего принятия решений на его основе. Формально анализ может быть представлен как вычисление некоторого функционала

где x(t_i) и x^пр(t₁) — фактическое и программное состояния систем в момент времени ti.

Приведем пример функционала, играющего большую роль в анализе хода выполнения номенклатурных планов предприятия. Данный функционал записан применительно к задаче учета заделов для анализа обеспеченности планового числа готовых изделий к некоторому моменту времени.

Формулировка задачи. Пусть к какому-то моменту tn запланирован выпуск N_А(tn) готовых изделий А. Изделие А имеет некоторый конструкторско-технологический граф изготовления G_A. Следует выяснить, сколько надо изготовить изделий по некоторой вершине S, SÎG_A за период [t, tn], где t — текущий момент времени для обеспечения выпуска в срок заданного числа изделий А.

Функционал Vb, bÎg_SA, g_SAÎG_А, соответствующий решаемой задаче анализа, вычисляется по следующей рекуррентной формуле:

Предполагается, что удовлетворяется условие непосредственного предшествования b<<a. Процесс останавливается, когда вершина b становится равной вершине S.

Здесь z_i(t) — число единиц ресурсов, находящееся в запуске на операции i в момент времени t; с_i(t) — число предметов с именем изделия i, имеющихся в наличии на всех местах складирования в момент времени t; x_ba — применяемость вершины b в вершине a; k_b — коэффициент технологического брака на вершине b; g_SА — путь от вершины S к вершине А; nⁱ[t,tn] — число предметов с именем i, которое необходимо выпустить за время [t, tn] H(t) — функция Хэвисайда

25 Математическая модель регулирования для задачи объемного планирования.

Модель строится в предположении, что горизонт планирования [tн, tk] разбит на интервалы. Проследим регулирование на i-м интервале. Для этого проведем конкретизацию параметров модели, выраженной формулой

где e(t) — вектор прогноза отклонения фактического хода производства от желаемого; e₀ — вектор отклонения действительного состояния производства от запланированного в точке t₀, полученный фазой учета; F(t) — область допустимых значений вектора e(t), определяемая в основном плановыми ограничениями и ограничениями по ресурсам.

Программная траектория задается только в крайних точках интервалов, поэтому можно считать, что функционал зависит лишь от вектора прогнозируемого состояния. Область допустимых значений варьируемых параметров определяется ограничениями по покупным изделиям, по ресурсам рабочей силы и оборудования.

Область E(t) зависит от соотношения х_В(t_ki) ³ х_В(t_ki)^пр_. Знак ³ следует понимать как покомпонентное упорядочение. Здесь х_В(t_ki) — подвектор вектора х(t_ki), соответствующий выходной номенклатуре подразделения. Тогда, модель регулирования для задачи объемного планирования имеет вид

Если в качестве целевой функции выбрать величину незавершенного производства мы получим задачу расписания. Таким образом, последнюю можно рассматривать как задачу отслеживания программной траектории, построенной в задаче объемного планирования.

26 Математическая модель регулирования для задачи расписания.

Модель строится в предположении, что интервал планирования разбит на дискреты съема информации (например, сутки). Качество регулирования на дискрете её съема может оцениваться функционалом

где Dс_u — стоимость незавершенного производства, накопленная на выходе операции u.

Обеспечивая близость плановой и фактической траекторий в соответствии с функционалом, выраженным формулой (20), мы стремимся добиться минимума стоимости незавершенного производства на интервале [t_i, t_i+1], пользуясь информацией о фактическом ходе производства в момент t_i.

Функционал, представленный формулой (20), может допускать модификации путем ввода различных весов. При этом в принципе будут получаться разные модификации математической модели для задачи регулирования.

Детерминированные эквиваленты всех приведенных моделей могут быть получены при- некоторых предположениях о функциях распределения случайных величин и переходом к квантилям, соответствующим заданной вероятности, при принятии условия, что случайные величины независимые.

7. Сетевые модели планирования. Элементы сетевого графика. Правила построения сетевого графика.

Сетевой график – это графическое изображение комплекса взаимосвязанных работ, вы-

полненных в определенной последовательности. Основные элементы сетевого графика: событие и работа (рис. 1). Совокупность события и работы образуют путь.

Рис. 1. Основные элементы сетевого графика

Событие в сетевом графике отображает только факт получения результатов предшествующих работ и условия начало следующей за ним работы.

Работа – это отдельный процесс, выполнение которого связано с затратами времени и ресурсов. Различают следующие виды работ.

1. Активная работа – требует затрат времени и ресурсов. Обозначается сплошной линией со стрелкой на конце.

2. Фиктивная работа – это логическая связь (зависимость) между двумя или несколькими работами, не требующая времени, но учитывающая, что возможность начала одной работы непосредственно зависит от конца другой. Обозначается пунктирной линией со стрелкой на конце.

3. Ожидание – характеризует процессы, сопровождающие только затраты времени (без расхода каких-либо других ресурсов). Обозначает паузу в рабочем процессе, которая может быть вызвана причинами технологического или организационного характера. Графически изображается как активная работа.

При построении сетевых графиков должны соблюдаться некоторые основные правила, являющиеся общими для сетевых графиков любых назначений.

1. Сетевые графики выполняются без масштаба.

2. Пересечения на графике допускаются, но для наглядности и уменьшения ошибок должны быть сведены к минимуму.

3. Работы (активная и фиктивная) могут иметь произвольную длину и наклоны и направлены слева направо.

4. В сетевых графиках не должно быть циклов, так как циклы свидетельствуют об искажении взаимосвязи между работами, поскольку каждая из этих работ оказывается предшествующей самой себе.

5. В сетевых графиках не должно быть ошибок типа:

 наличие событий, не являющихся исходными и не имеющих входящих работ – тупиков первого рода (2 входа).

наличие событий, не являющихся завершающими и не имеющих выходящих работ – тупиков второго рода (2 конца).

6. Все события сетевого графика должны быть пронумерованы, благодаря чему оказываются зашифрованными и все работы.

Шифр каждой работы состоит из двух номеров: первый номер обозначает предыдущее событие (стоящее у основания работы),

второй – последующее событие (стоящее у острия стрелки работы). К нумерации событий предъявляются следующие требования:

 нумерация должна производиться последовательно числами натурального ряда;

 номер конечного события каждой работы должен быть больше номера начального события; выполнение этого требования достигается тем, что событию присваивается номер только после того, как будут пронумерованы начальные события всех входящих

в него работ;

 нумерация должна производиться слева направо, в пределах графика сверху вниз.

7. В сетевом графике каждое событие может быть изображено только один раз. Каждый из номеров может быть присвоен только одному конкретному событию. Аналогично каждая работа в сетевом графике может быть изображена только один раз, а каждый шифр может быть присвоен только одной работе.

8. События сетевой модели делятся на 4 сектора.

Здесь i – номер события, tр(i) – ранее время совершения события, tп(i) – позднее время, k – номер непосредственно предшествующего события.

9. Самый длинный путь от начального до конечного события, который не имеет резервов, называется критическим путем и выделяется красным цветом или двойной линией и характеризует срок выполнения всех работ.

9. Диаграмма Ганта. Оптимизация сетевых графиков

Диагра́мма Га́нтта — это популярный тип столбчатых диаграмм (гистограмм), который используется для иллюстрации плана, графика работ по какому-либо проекту. Является одним из методов планирования проектов. Используется в приложениях по управлению проектами.

По сути, диаграмма Гантта состоит из полос, ориентированных вдоль оси времени. Каждая полоса на диаграмме представляет отдельную задачу в составе проекта (вид работы), её концы — моменты начала и завершения работы, её протяженность — длительность работы. Вертикальной осью диаграммы служит перечень задач. Кроме того, на диаграмме могут быть отмечены совокупные задачи, проценты завершения, указатели последовательности и зависимости работ, метки ключевых моментов (вехи).

Оптимизация сетевого графика проводится по времени и ресурсам. Цель оптимизации по времени – сократить продолжительность критического пути. Цель оптимизации по ресурсам – выровнять загрузку исполнителей и сократить численность занятых.

На практике оптимизация сетевого графика проводится чаще всего по времени, чтобы сократить продолжительность разработки в целом, или уложиться в установленные сроки. При этом надо учитывать коэффициенты напряженности путей.

Оптимизация сетевого графика проводится:

– путем изменения схемы сетевого графика, в частности, разделение продолжительной работы на несколько работ, выполняемых параллельно;

– путем перевода части исполнителей с ненапряженных работ, то есть имеющих частные резервы времени, на работы критического пути, выполняемые параллельно с ненапряженными работами. При переводе исполнителей должны быть учтены их квалификация и специальность;

– путем изменения сроков начала и окончания работ ненапряженных путей в пределах их полного резерва времени.

Какие типы моделей используются при постановке задач оптимального планирования и распределения ресурсов. Приведите обобщенную форму записи мат. модели.