Метод Жордана ¾ Гаусса

Метод Жордана ¾ Гаусса є методом повного виключення невідомих. Обчислювальна схема цього методу складається із скінченого числа кроків або ітерацій і, у випадку рівності ранга системи числу невідомих, приводить систему (3) до вигляду:

. (7)

На кожному кроці цієї схеми виключається деяке невідоме із всіх рівнянь, крім одного. Так, наприклад, щоб виключити із всіх рівнянь , крім p-го , потрібно виразити через інші невідомі, використовуючи p-те рівняння (це можливо якщо ) і підставити його у всі інші рівняння.

В цьому випадку елемент називають розв’язуючим елементом, а p-ий рядок і s-ий стовпчик матриці коефіцієнтів системи (4) ¾ відповідно розв’язуючими. Щоб зменшити похибку і обійти випадок, коли , розв’язуючий елемент вибирають як найбільший за абсолютною величиною коефіцієнт при невідомих (або рівним 1).

В результаті коефіцієнти системи на кожному кроці (обчислювальної схеми) змінюються наступним чином:

1) Всі коефіцієнти і вільний член розв’язуючого рядка ділять на розв’язуючий елемент.

2) Елементи розв’язуючого стовпчика заміняють нулями, крім самого розв’язуючого елемента. На місці розв’язуючого елемента тепер стоїть одиниця.

3) Всі інші елементи системи перераховуємо за правилом прямокутника за формулою:

(8)

(k – це номер кроку або ітерації).

Зауваження: розв’язуючий елемент вибирають на кожному кроці схеми в новому рядку і новому стовпчику. Процес розв’язання продовжується до тих пір, поки не отримаємо систему виду (7).

Процес розв’язування СЛАР методом Жордана – Гаусса зручно оформлять у вигляді спеціальної розрахункової таблиці з контролем обчислень, тому розв’язувати систему будемо за допомогою програми Microsoft Excel.

Особливої уваги заслуговує поточний контроль правильності обчислень. Для цього в розрахунковій таблиці додатково обчислюються контрольні числа і контрольні різниці (k – це номер кроку або ітерації).

На початковому (нульовому) кроці контрольні числа дорівнюють сумі всіх коефіцієнтів (включаючи вільні члени) кожного рівняння окремо. В подальшому вони перераховуються так само, як і всі інші елементи таблиці. Контрольні різниці дорівнюють різниці між сумою всіх коефіцієнтів (включаючи вільні члени) і контрольним числом кожного рівняння. Якщо помилки в обчисленнях відсутні, то контрольні різниці дорівнюють нулю. Великі контрольні різниці свідчать про помилки в обчисленнях або про нестійкість алгоритму обчислень щодо обчислювальної похибки.

Похибку одержаного розв’язку будемо оцінювати нев’язками:

(9)

Тобто оцінка похибки отриманих результатів здійснюється шляхом підстановки знайдених значень невідомих в СЛАР (3) та обчислення різниці між результатами підстановки значень невідомих в ліві частини рівнянь і вільними членами (по модулю).

Вибір розв’язуючих елементів виконують якраз для того, щоб уповільнити накопичення похибок під час обчислень. Якщо ж нев’язки все ж недостатньо малі , то потрібно виконати розрахунки з більшою точністю.

Метод простої ітерації

Два методи рішення СЛАР, розглянуті раніше, відносяться до точних методів. Однак, часто при рішенні систем зручно використовувати наближені методи, які дають послідовність наближених значень, що сходяться до шуканого розв’язку. До таких методів відноситься метод простої ітерації.

Для розв’язання системи рівнянь (3) методом простої ітерації потрібно перш за все привести її до нормальної або канонічної форми

(10)

За початкове наближення можна брати довільні значення . Наприклад, (тобто за початкове наближення вибрали значення вільних членів рівнянь системи). Підставимо в праву частину рівнянь системи (10) і приймемо отримані числа за перше наближення . Аналогічно по першому наближенню отримаємо друге. В загальному випадку по (k-1)-му наближенню знаходимо k-те наближення за формулами

, (11)

де k=1,2,...

,

,

i=1,…,n,

j=1,…,n.

Якщо послідовність наближень має границю , то і буде розв’язком системи.