Система показателей вариаций

Тема 6.

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВАРИАЦИИ

В РЯДАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Понятие вариации признака в совокупности.

Система показателей вариации.

Правило сложения дисперсий и его применение.

Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.

3.2 Расчёт показателей тесноты и силы связи признаков на основе правила сложения дисперсий.

Характеристика формы распределения единиц совокупности.

Понятие вариации признака в совокупности.

Информации о средних значениях обычно бывает недостаточным для полного анализа изучаемого процесса (явления), т.к. иногда совершенно разные по внутреннему строению совокупности могут иметь равные средние величины

Пример.

5 5

_

Ряд 1. 95 100 105 хi = 100

_

Ряд 2. 75 100 125 х₂ = 100

25 25

Эти два ряда имеют одинаковую среднюю, однако расхождения между вариантами 2-го ряда в 5 раз больше чем между вариантами 1-го ряда, т.е. ряды качественно разные.

Следовательно, при изучении совокупностей необходимо учитывать разброс значений признака единиц совокупности относительно средней величины ,т.е. вариацию (колеблемость) признака.

Вариации – это различие индивидуальных значений признака в ряде распределения. Вариация возникает в виду того, что на объект действуют не только систематические, но и случайные факторы.

При оценке вариации необходимо учитывать разность , т.е. отклонение индивидуального варианта от среднего значения .Затем

можно рассчитать среднее из этих отклонений и рассматривать эту величину как один из показателей вариации признака.

Если вариация ( т.е. разброс значений признака вокруг их средней величины) незначительна, то средняя величина типична для данной совокупности.

Если вариация велика (т.е. отклонения значений признака от средней ) значительны, то средняя является ненадёжной характеристикой совокупности.

Для измерения вариация служит специальная система показателей,которые позволяют определить величину разброса значений признака (и тем самым установить надёжность средней).

Кроме того, эти показатели позволяют:

· Определить предельные границы изменения признака

· Установить, является лисовокупность однородной

· Установить тесноту и силу взаимосвязи между факторными признаками и результативным признаком.

СИСТЕМА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИЙ.

Показатели вариации (колеблемости) признакаоцениваютстепень (разброса) рассеяния вариантов значений признака относительно своего центра (или Ме).

Различают показатели размера вариации (абсолютные) и интенсивности вариации (относительные).

1.Показатели размера вариации

· размах вариации, устанавливающий предельное значение амплитуды колебаний признака;

R= x_max - x_min (1)

· среднее линейное отклонение , вычисляемое как среднее арифметическое из абсолютных отклонений |x_i -|:

(2)

· дисперсия s² (или D), рассчитываемая как среднее арифметическое из квадратов отклонений (x_i -):

(3)

· среднее квадратическое (стандартное) отклонение s, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии s²:

(4)

Эти формулы применяются, когда изучается вариация в дискретных рядах распределения, без учёта частот.

Если анализируется вариация в интервальных рядах, то используется взвешенная форма показателей вариации:

(5)

(6)

(7)

Длярасчёта дисперсии существует удобная формула для вычислений:

(8)

Показатели R, и sявляются величинами именованными и выражаются в тех же единицах, что и изучаемый признак. Дисперсия s² считается безразмерной величиной

В статистической практике для оценки вариации наиболее широко применяются показатели s² и s.Они основаны на учете отклонений (x_i-) индивидуальных значений признака x_i от средней арифметической и являются обобщающими характеристиками различия в значениях признака.

Среднее квадратическое отклонение s показывает, на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака x_i от их средней величины .

Размерность отклонения sсовпадает с размерностью самого признака, поэтому этот показатель экономически хорошо интерпретируется. Отклонения, выраженные в s, принято считать стандартными.

Дисперсия s² оценивает средний квадрат отклонений (x_i -). Величина s очень чутко реагирует на вариацию признака (за счет возведения отклонений в квадрат) и органически вписывается в аппарат математической статистики (дисперсионный, корреляционный анализ и др.). На расчете дисперсии основаны многие статистические показатели.

2.Показатели интенсивности вариации признака.

Это относительные показатели, измеряемые, как правило, в процентах:

V_s= , V_d= , V_R= , V_Me= .

Среди показателей интенсивности вариации наиболее часто применяется коэффициент вариации V_{s ,} который выражается в процентах и вычисляется по формуле

(9)

Величина V_sоценивает интенсивность колебаний вариантов относительно их средней величины.

Принята следующая оценочная шкала колеблемости признака:

0%<V_s 40% - колеблемость незначительная;

40%< V_s 60% - колеблемость средняя (умеренная); (10)

V_s>60% - колеблемость значительная.

Для нормальных и близких к нормальному распределений показатель V_s служит индикатором однородности совокупности: принято считать, что при выполнимости неравенства

V_s 33% (11)

совокупность является количественно однородной по данному признаку.

Коэффициент вариации V_s часто используется для сравнения колеблемости признаков в различных рядах распределения, когда сравнивается вариация разных признаков в одной и той же совокупности или же вариация одного и того же признака в различных совокупностях, имеющих разные средние.

Пример.

Имеется ряд распределения (табл.6.1 ) сотрудников по стажу работ.

Таблица 6.1