Роверка гипотезы о равенстве вектора математических ожиданий стандарту в пакете GRETL
Набранный скрипт:
matrix X={X1, X2, X3, X4, X5} – создали матрицу объект-свойство
matrix mx=meanc(X) – создали вектор-строку с именем mx, в который записали оценки математических ожиданий (средние арифметические по каждому столбцу матрицы Х
matrix m0={76,11,70,23,28} – создали вектор-строку с именем m0, в который записали вектор-стандарт (сами придумали значения. Можно, например, округлить до целых соответствующие средние)
matrix S=mcov(X) – создали матрицу с именем S, в которую записали исправленную оценку ковариационной матрицы
matrix S1=invpd(S) – создали матрицу с именем S1, в которую записали матрицу, обратную к оценке ковариационной матрицы
matrix S1=invpd(S) – создали скалярную величину с именем k, в которую записали количество столбцов матрицы Х
scalar n=rows(X) – то же самое с количеством строк матрицы Х
scalar Tnabl=n*(mx-m0)*S1*(mx-m0)' - создали скалярную величину с именем Tnabl, в которую записали наблюденное значение статистики Хоттелинга (знак ' означает транспонирование)
scalar Tkrit=k*(n-1)*critical(F,k,n-k,0.05)/(n-k) – то же самое с критическим значением статистики
Выводим данные:
Наблюдаемое значение статистики составило 0,167, что меньше критического 16,58. Следовательно, нулевую гипотезу о равенстве вектора математических ожиданий стандарту не отвергаем.
Смотрим значения рассчитанных величин :
Выводим соответствующую матрицу:
Матрица mx:
Матрица m0:
Матрица S:
Матрица S1:
Проверка однородности двух генеральных совокупностей
Совокупности называются однородными, если они характеризуются одним и тем же набором признаков и одинаковым законом распределения.
В случае многомерных нормальных ГС проверка однородности сводится к проверке двух гипотез:
1)равенство ковариационных матриц;
2)равенство векторов математических ожиданий.
Всего наблюдений 24( n=24)
Допустим, первые 10 наблюдений – выборка 1, с 11 по 24 – выборка 2.
Шаг 1. Проверка равенства ковариационных матриц
Для проверки гипотезы используем совокупность W:
W=b*a, где
b=
При справедливости и достаточно больших объемах выборок,W распределено по закону
:
W
Если , то
-отвергается и ковариационные матрицы неодинаковы.
Набранный скрипт:
smpl 1 10 –задали диапазон данных с 1 по 10 наблюдение
matrix X={X1, X2, X3, X4, X5}– создали матрицу Х «объект-свойство» (первая выборка)–задали диапазон данных с 11 по 22 наблюдение
matrix Y={X1, X2, X3, X4, X5}-создали матрицу Y «объект-свойство» (вторая выборка)
scalar nx=rows(X) –создали скалярную величину, в которую записали количество строк матрицы Х (то есть количество объектов в первой подвыборке)
scalar ny=rows(Y)– то же самое с количеством строк матрицы Y
scalar k=cols(X)создали скалярную величину с именем k, в которую записали количество столбцов матрицы Х
matrix Sx=mcov(X) -создали матрицу с именем Sx, в которую записали исправленную оценку ковариационной матрицы по первой выборке
matrix Sy=mcov(Y)создали матрицу с именем Sy, в которую записали исправленную оценку ковариационной матрицы по второй выборке
matrix Sxy=((nx-1)*Sx+(ny-1)*Sy)/(nx+ny-2) -создали матрицу с именем Sxy, в которую записали исправленную оценку общей ковариационной матрицы
scalar a=(nx+ny-2)*ldet(Sxy)-((nx-1)*ldet(Sx)+(ny-1)*ldet(Sy))– создали скалярную величину a
scalar b=1-(1/(nx-1)+1/(ny-1)-1/(nx+ny-2))*((2*k^2+3*k-1)/(6*k+6))
scalar c=((k^2+k)/(48*b^2))*((k-1)*(k+2)*(1/(nx-1)^2+1/(ny-1)^2+1/((nx-1)^2+(ny-1)^2))-6*(1-b)^2)
scalar Wnabl=a*b
scalar Wkrit=critical(c,k*(k+1)/2,0.05)
Результат:
Наблюдаемое значение статистики составило 26,0894 что больше критического 24,9956. Следовательно, нулевую гипотезу о равенстве ковариационных матрицы отвергаем, совокупности неоднородны.
В данном случае исследование однородности завершается выводом о неоднородности, проверка равенства векторов математических ожиданий не имеет смысла.