Формула Бейеса

Пусть мы знаем вероятности событий А и В: Р(А) и Р(В). И пусть мы знаем условную вероятность события А по В: Р(A|B). Как найти условную вероятность P(B|A)? На этот вопрос отвечает формула Бейеса. Р(B|A)=P(A|B)·P(B)/P(A) (1) Разумеется этой формулой можно пользоваться только при условии, что Р(А)0. Формула Бейеса выводится из следующих равенств: Р(ВА)=Р(В|A)·P(A) (2) Р(AB)=Р(A|B)·P(B) (3) Р(ВА)=Р(AB) (4) так как пересечение событий В и А очевидно не зависит от порядка, в котором записаны А и В, т.е. ВА=AB. В случае Р(А)=0 принимаю обычно, что Р(В|A) есть величина неопределенная. 8.Формула полной вероятности.

Пусть имеем полную группу из n попарно непересекающихся событий То есть

, , (6)

Пусть мы знаем условные вероятности некоторого события А по Еi: Р(А|Ei) и вероятности Р(Ei), i=1,...,n. Справедлива следующая формула полной вероятности для события А Р(А)=Р(A|E1)·P(E1)+...+P(A|En)·P(En) (7) Доказательство этой формулы вытекает из следующих равенств P(A)=P()=P(A(Ei))=P(AE1)+...+P(AEn)=Р(A|E1)·P(E1)+...+P(A|En)·P(En) (8) Из элементарной формулы Бейеса (1) и формулы полной вероятности (7) вытекает следующая более полная формула Бейеса

Р(Еi|A)=P(A|Ei)·P(Ei)/(Р(A|E1)·P(E1)+...+P(A|En)·P(En)) (9)