Специальные случаи резервирования

Очень многие реальные системы имеют сложную структуру, которая может и не сводиться к последовательным или параллельным соединениям элементов. Наиболее простой пример подобных структур показан на рис 6.1 – это так называемая мостовая схема [6].

Рисунок 3.7 – Мостиковая схема

В общем случае такие системы могут представлять собой сети очень сложной конфигурации. Сюда можно отнести информационные системы, распределенные системы связи, транспортные сети, трубопроводные сети, энергосети и т.п. Такие системы называются системой с монотонной структурой. Для них характерно одно свойство: отказ любого из элементов может привести к ухудшению надёжности или к отказу системы. Методы оценки различных показателей надежности сложных систем с монотонной структурой довольно сложны, специфичны и требуют особого рассмотрения.

Большинство таких практических систем характеризуются рядом свойств, заключающихся в том, что их характеристики надежности монотонно ухудшаются при ухудшении характеристик надежности составляющих их элементов.

Методов оценки таких систем много. Рассмотрим основные из них.

Метод прямого перебора

Произвольная система, состоящая из “n”-элементов, каждый из которых может находиться в состоянии работоспособности (1) и в состоянии отказа (0), может находиться в “ ” различных состояниях;

– все n элементов работоспособны,

– отказал i-й элемент, остальные – работоспособны.

– отказали i-й и j-й элементы, остальные – работоспособны.

– отказали все элементы.

Если определен критерий отказа, то всё множество состояний системы можно разделить на два подмножества: подмножество состояний работоспособности F и подмножество состояний отказа G. Тогда, если для каждого состояния вычислить вероятность появления , то вероятность состояния работоспособности системы:

(3.29)

где знак означает суммирование по всем состояниям, относящимся к подмножеству F.

Если система состоит из взаимно независимых элементов, то вероятность соответствующих состояний вычисляется по формулам:

; ; .

(3.30)

где и – вероятности состояния работоспособности и неработоспособности,

Рассчитаем, к примеру, надежность мостиковой схемы, состоящей из пяти идентичных элементов с . Для определения вероятности безотказной работы, к примеру, за 10 часов работы и среднего времени работы до отказа схемы составляем таблицу возможных состояний (табл. 3.1) и по схеме рис. 3.7 непосредственно определяем к какому из подмножеств F или G относится то или иное состояние.

Таблица 3.1 Возможные состояния мостиковой схемы.

Индекс состояния α	Состояние элемента	Вид подмножества	Вероятность состояния Рα
1,2 1,3 1,4 1,5 2,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5 1,3,4 1,3,5 1,4,5 2,3,4 2,3,5 2,4,5 3,4,5 1,3,4,5						F F F F F F G F F F F F F F F G F G G G F G G G

Таким образом согласно (3.29) (3.31)

Заменив p на «1-q», получим:

(3.32)

Т.к. обычно «q» мало, то ; (3.33)

Или ; (3.34)

В нашем случае вероятность безотказной работы элемента:

, а .

Тогда вероятность безотказной работы мостиковой системы:

.

Для вычисления средней наработки до отказа удобнее представить , как функцию от вероятности безотказной работы элементов, для чего, заменив в (3.31) q на ”1-p”, получим:

(3.35)

По общей формуле , и, учитывая, что для нашего случая , получаем, интегрируя:

Как видно из приведенного метод точен, но громоздок.

Другие, ниже приведенные методы позволяют прийти к финишу более кротким и быстрым путем.