Интегрального признака сравнения Коши
Пусть дан ряд , и каждый его член можно представить в виде значения какой-нибудь функции f от номера члена:
.
Доопределив данную функцию для всех x на интервале [1;∞), можно говорить о непрерывной функции f(x) на интервале [1;∞), а также о существовании несобственного интеграла .
Итак, если дан ряд , члены которого положительны и не
возрастают, дана функция f(x), определённая на интервале [1;∞),
непрерывная и невозрастающая на нём и ,тогда для сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл
.
Пример 8.
Рассмотрим поведение рядов Дирихле в зависимости от p.
Для них f(x)= . В этом случае
Для случая p=1 f(x)=1/x
- интеграл расходится, что ещё раз доказывает расходимость гармонического ряда.
Итак, ряды вида сходятся при p>1 и расходятся при p<1 и при p=1.
Пример 9.
В данном случае можно применить признак сравнения с рядом Дирихле после преобразования общего члена ряда с помощью формул Тейлора. Напомним их:
С помощью формулы (5) получим:
С помощью формулы (4) можем получить:
Тогда
Имеем ряд Дирихле , где p=1+
. Такой ряд сходится при p>1, то есть при
>0, и расходится при p≤1, то есть при
≤0.
Пример 10.Ряд .
Применим интегральный признак: f(x)= , несобственный интеграл
сходится. Следовательно, сходится и ряд
.
Пример 11.Ряд .
Случай p=1. f(x)= . Применяем интегральный признак:
- несобственный интеграл, а, вместе с ним и ряд расходятся.
Случай p≠1:
.
Вместе с соответствующим несобственным интегралом, в зависимости от p, ряд сходится при p>1 и расходится при p≤1.
Необходимо отметить ещё один момент: множество сходящихся рядов образуют линейное пространство. Этим тоже можно пользоваться для установления сходимости рядов. А именно: если исследуемый ряд может быть представлен в виде конечной линейной комбинации сходящихся рядов, то он сходится.
Пример 12. . Так как
и каждый из рядов
сходятся (см. пример 1), то и ряд
сходится.
Если исходный ряд может быть представлен в виде линейной комбинации сходящегося и расходящегося рядов, то он расходится.
Пример 13.
Рассмотрим ряд . Так как
, ряд
сходится, а ряд
расходится, то ряд
расходится.
Множество всех расходящихся рядов не образуют линейное пространство! Поэтому их конечные линейные комбинации могут образовывать как сходящийся, так и расходящийся ряд.
Пример 14.
Рассмотрим ряд .
. Ряды
и
расходятся, однако исходный ряд сходится!
Докажем это двумя способами:
Во-первых (по признаку сравнения), , следовательно, наш ряд сходится вместе с рядом Дирихле
, С=1, p=2.
Во-вторых, попробуем получить частичную сумму данного ряда, чтобы доказать сходимость по определению – через предел частичных сумм. Так как , то
. Предел частичной суммы существует, конечен, следовательно, ряд
сходится по определению.
Признак Даламбера.
Пусть дан ряд с положительными членами ,
, тогда, если
, то ряд сходится,
если и в частности, если
, то ряд расходится.
Если q=1, необходимо применить другой признак, так как при q=1 признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
Признак Даламбера удобнее всех прочих применять в том случае, если в выражении члена ряда содержится знак факториала.
Пример 15. .
По признаку Даламбера:
Пример 16.
По признаку Даламбера:
- ряд сходится.
Отметим, что полученное соотношение указывает на невыполнение необходимого признака сходимости ряда
.