Матричные операции. Встроенные функции для работы с матрицами

Решить систему линейных уравнений А^тА³Х = В и вычислить значение квадратичной формы Z = Y^тАА²Y², где

Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы. С помощью обратной матрицы решаются системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которых отличен от нуля. Для этого систему линейных уравнений запишем в виде матричного уравнения АХ= В, тогда решение матричного уравнения имеет вид: Х = А^-1В.

В Excel имеются следующие специальные функции для работы с матрицами: МОБР - обратная матрица; МОПРЕД - определитель матрицы; МУМНОЖ-матричное произведение двух матриц и ТРАНСП - транспонированная матрица.

Во всех случаях при работе с матрицами перед вводом формулы надо выделить область на рабочем листе, куда будет выведен результат вычислений, а по окончании ввода нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Таблица с исходными данными для вычислений имеет следующий вид (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Исходные данные

Выполним транспонирование матрицы А. Для этого, вначале выделим диапазон ячеек B7:E10 (рис. 2.1).

Рис. 2.2. Выделен диапазон ячеек B7:E10

В строке формул активизируем кнопку и выбираем встроенную функцию ТРАНСП (рис. 2.3) и заполняем строку аргументов, как показано на рис. 2.4.

Рис. 2.3. Мастер функций. Функция ТРАНСП

Рис. 2.4. Аргументы функции ТРАНСП

Ввод формулы заканчиваем комбинацией клавиш Ctrl+Shift+Enter и получаем следующий результат (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Транспонированная матрица А

На следующем этапе вычисляем значение А², используя встроенную математическую функцию МУМНОЖ (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Встроенная математическая функция МУМНОЖ

Результат вычислений представлен на следующем рис. 2.7.

Рис. 2.7. Вычислено значение А²

Используя функцию МУМНОЖ, аналогично вычисляем А³ (рис. 2.8) и А^тА³.

Рис. 2.8. Значение А³

Для вычисления обратной матрицы используем встроенную математическую функцию МОБР (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Встроенная математическая функция МОБР

Теперь в таблице (рис. 2.10) все подготовлено для вычисления значений Х (х₁, х₂, х₃, х₄).

Рис. 2.10. Исходные данные для вычисления значений Х

Значения неизвестных Х определяется как произведение двух массивов чисел (рис. 2.11). Расчет неизвестных окончен (рис. 2.12).

Рис. 2.11. Аргументы функции МУМНОЖ

Рис. 2.12. Система линейных уравнений А^тА³Х = В решена

Конечно, более опытные пользователи решили бы систему уравнений так:

· выделили бы диапазон ответов H17:H20;

· ввели формулу

=МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(B2:E5);

МУМНОЖ(МУМНОЖ(B2:E5;B2:E5);B2:E5)));H2:H5);

· закончили ввод Ctrl+Shift+Enter.

Для вычисления квадратичной формы Z=Y^тАА²Y² определим только Y² и Y^т, так как А² уже известно. Для этого в диапазон ячеек В22:B25 введена формула =K2:K5*K2:K5, а в диапазон ячеек Е23:H23 формула ТРАНСП(K2:K5) (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Определение значений Y² и Y^т

Для вычисления Z (рис. 2.14) можно пошагово выполнять операции умножения массивов или в ячейку В27 ввести следующую формулу:

=МУМНОЖ((МУМНОЖ((МУМНОЖ(E23:H23;B2:E5));H7:K10));B22:B25).

Рис. 2.14. Значение Z