Данные расчетов с помощью методов статистических решений
Метод | Критическая концентрация | Вероятность ложной тревоги | Вероятность припуска дефекта | Средн. риск | |
Минимального риска | 0.92 | 1.68 | 0.13 | 0.44 | |
Минимального числа ошибочных явлений | 1.09 | 0.16 | 0.42 | 0.86 | |
Максимального правдоподобия | 0.92 | 1.61 | 0.14 | 0.44 | |
Минимакса | 0.74 | 6.04 | 0.27 | 1.14 | |
Неймана- Пирсона | ε =0,05 | 0.82 | 5.0 | 0.06 | 0.62 |
ε =0,15 | 0.70 | 15.0 | 0.02 | 1.54 | |
ε =0,25 | 0.63 | 25.0 | 0.01 | 2.25 |
Из приведенных данных следует, что применение метода минимального числа ошибочных решений приводит к наибольшей вероятности пропуска дефекта, так как при расчете критической концентрации металла не учитывались существенно различные стоимости ошибок диагностирования. В итоге – сравнительно высокое значение риска. Метод минимакса, а также метод Неймана-Пирсона дают высокий уровень ложной тревоги, то есть приводят к необходимости замены большого числа исправных подшипников и высокой величине риска диагностирования.
Обращает на себя внимание тот факт, что данные расчетов с помощью методов минимального риска и максимального правдоподобия практически совпадают. Такое совпадение связано исключительно с исходными данными этого примера. Для приведенных значений выполняется следующее условие П10Р(D1)/П01Р(D0) 1, метод минимального риска сводится к методу максимального правдоподобия при равенстве этого соотношения единице (
=1). Отсюда совпадение результатов расчетов с использованием этих методов. В общем случае это не так.
Из результатов расчетов следует, что наилучшее правило принятия решения с наименьшим по сравнению с другими значением среднего риска дает применение метода минимального риска, основанного на использовании всей доступной информации о диагностируемом объекте.
Детальный анализ показывает, что критическое значение информативного параметра х* – концентрация металла в смазке, существенно зависит от соотношения между потерями от ошибок 1-го и 2-го рода при диагностике. На рис. 3а показана зависимость критического значения х* от отношения между потерями от ошибок при диагностике П10/П01 .С увеличением потерь от ошибки 2-го рода – пропуска сигнала, критическое значение х* убывает. При этом уменьшается вероятность пропуска сигнала РM и, соответственно, возрастает вероятность ложной тревоги PF
Рис. 3. Изменение критического значения диагностического параметра х* (а) и ошибок 1-го и 2-го рода (б) в зависимости от отношения потерь от неправильно принятых решений
На рис. 36 приведены зависимости вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода от отношения между потерями от этих ошибок. Заметим, что с возрастанием отношения П10/П01 темп роста РF выше, чем у РM. Это обусловлено тем, что среднеквадратическое отклонение σ1 распределения w(x/D0) меньше, чем среднеквадратическое отклонение о, распределения w(x/D1).
Задача 3. Степень старения металла различных участков трубопроводов цехов машиностроительного предприятия могут быть оценены по изменению в процессе эксплуатации предела текучести металла σ0.2. На основе анализа сертификатных данных трубопроводов и результатов массовых натурных безобразцовых измерений этого параметра методом измерения твердости установлено, что в исходном и состаренном состояниях его значение подчиняется нормальному закону распределения. Например, для трубопроводов в исходном состоянии среднее нормативное значение предела текучести основного металла – стали ОХ18Н10Т – составляет σ0.2исх =245 МПа при среднеквадратическом отклонении 25 МПа, а для предельно состаренного состояния эти величины соответственно равны σ0.2стар=175 МПа и 20 МПа. Используя различные статистические методы принятия решений, определить значение предела текучести, при котором трубопровод подлежит замене, если стоимость замены в условных единицах составляет 10 усл. ед., а затраты на ликвидацию последствий аварийной ситуации, связанной с разрушением трубопровода, оцениваются в 200 усл. ед. Априорные вероятности допустимого и недопустимого состояний трубопровода на момент диагностического обследования соответственно равны 0,95 и 0,05. Выигрыши от правильно принятых решений при диагностике трубопроводов можно принять равными нулю.
Проанализируем условия этой задачи, сопоставив их с данными предыдущей задачи 2. Прежде всего, для упрощения обозначений условимся, диагностический параметр – предел текучести стали σ0.2 – обозначать х. Плотности вероятности распределения этого параметра в исходном и состаренном состояниях показаны на рис. 4. Сравним рис. 4 с рис. 1, на котором показано взаимное расположение графиков условных плотностей вероятности распределения диагностического параметра для разных состояний диагностируемого объекта, соответствующее данным задачи 2.
Обратим внимание на то, что среднее значение диагностического параметра – предела текучести стали – в исходном состоянии выше, чем в состаренном. Поэтому на рис. 4 график плотности вероятности распределения диагностического параметра для исходного состояния металла трубопровода расположен справа от графика плотности вероятности распределения диагностического параметра в случае состаренного состояния металла.
Рис. 4. Распределения предела текучести металла трубопровода в исходном и состаренном состояниях
С изменением взаимного расположения графиков плотностей вероятности распределения диагностического параметра для допустимого и недопустимого состояний металла трубопроводов изменилось и положение заштрихованных областей, соответствующих вероятностям ошибок 1-го и 2-го рода – Рм и PF, сравни рис. 1 и рис. 4.
В связи с этим нетрудно сообразить, что для расчета критического значенияпредела текучести стали, вероятностей ошибок диагностирования и среднего риска с применением различных статистических методов принятия решений можно воспользоваться соотношениями, приведенными ранее, если исходное (допустимое) состояние металла трубопроводов обозначить как D1, состаренное (недопустимое) D0, а в формулах вычисления ошибок диагностирования заменить РM на РF и наоборот. С учетом сказанного введем следующие обозначения: среднее значение предела текучести стали в состаренном состоянии x0=175 МПа; среднеквадратическое отклонение предела текучести стали в состаренном состоянии 0=20 МПа; среднее значение предела текучести стали в исходном состоянии х0=245 МПа; среднеквадратическое отклонение предела текучести стали в исходном состоянии
0=25 МПа; априорные вероятности исходного (допустимого) и состаренного (недопустимого) состояний металла трубопровода на момент диагностического обследования соответственно равны P(Dl)=0,95 и P(D0)=0,05; потери от ошибки 1-го рода П10=10 усл. ед.; потери от ошибки 2-го рода П01=200 усл. ед.
Метод минимального риска
Распределение предела текучести стали в нормальном (исходном) (i=1) состаренном (i=0) состояниях описываются функциями, рис. 4:
После вычисления коэффициентов b и с в уравнении (34) и его решения находим критическое значение предела текучести x =208,1 МПа. Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода в нашем случае вычисляются по формулам
а средний риск
В результате вычислений находим PF=0,0663; Рм=0,0025 и R=1,15 усл. ед.