Произведение и норма вектора в пространстве
Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве
Норма вектора 
, 
в евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением равна 5 при 
равном …
 |  | ||
 | |||
 | |||
 |
Тема: Векторное произведение векторов
Площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, равна …
| |  | ||
 | |||
Решение:
Площадь 
параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, равна модулю векторного произведения этих векторов, то есть 
. В нашем случае 
. Следовательно, площадь параллелограмма равна:
.
Тема: Градиент скалярного поля
Градиент скалярного поля 
в точке пересечения оси 
с поверхностью 
равен …
| |  | ||
 | |||
 | |||
 |
Решение:
В точке пересечения оси с поверхностью , 
. Следовательно, 
и 
. Таким образом, нам надо найти градиент скалярного поля 
в точке 
.
Так как градиент скалярного поля находится по формуле: 
,
то:
и 
.
Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве
Даны векторы 
и , угол между которыми равен 
. Проекция вектора на вектор равна 
. Тогда норма вектора равна …
| |  | ||
 | |||
| | |||
 |
Решение:
Так как 
, то 
.
Тема: Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов 
и 
равно …
| |  | ||
 | |||
 | |||
 |
Тема: Градиент скалярного поля
Градиент скалярного поля 
в точке 
равен …
| |  | ||
 | |||
 | |||
 |
Тема: Векторное произведение векторов
Площадь треугольника с вершинами в точках 
, 
и 
равна …
| | 7,5 | ||
| 2,5 |
Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве
Если и – ортогональные векторы из евклидова пространства со стандартным скалярным произведением, такие что 
, 
, то норма вектора 
равна …
| | |||
Тема: Векторное произведение векторов
Даны два вектора: 
и 
, где 
, 
, угол между векторами 
и 
равен 
. Тогда площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, будет равна …
 | |||
 | |||
 |
Решение:
Площадь 
параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, равна модулю векторного произведения этих векторов, то есть 
. В нашем случае 
.
Так как 
; 
; 
; то 
.
Тогда 
.
Тема: Градиент скалярного поля
Модуль градиента скалярного поля 
в точке пересечения оси 
с поверхностью 
равен …
| |  | ||
 |
Решение:
В точке пересечения оси с поверхностью , 
. Следовательно, 
и 
. Таким образом, нам надо найти градиент скалярного поля 
в точке 
.
Так как градиент скалярного поля находится по формуле 
,
то
и 
.
Следовательно, 
.
Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве
Норма вектора 
в евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением равна …
| | |||
Тема: Градиент скалярного поля
Модуль градиента скалярного поля 
в точке 
равен 7 при 
равном …
| |  | ||
 | |||
 | |||
 |
Решение:
Градиент скалярного поля находится по формуле: 
. Тогда 
и 
. Следовательно, 
. Откуда 
и 
.
Тема: Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов 
и 
равно …
| |  | ||
 | |||
 | |||
 |
Решение:
Векторное произведение двух векторов: 
и 
, заданных своими координатами, находится по формуле:
.
В нашем случае 
Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве
Скалярное произведение векторов 
и 
равно 8, угол между векторами равен 
, норма вектора равна 4. Тогда норма вектора равна …
| | |||
 | |||
Решение:
Так как 
, то 
.
Тема: Градиент скалярного поля
Модуль градиента скалярного поля 
в точке 
равен …
| | |||
 | |||
 |
Тема: Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов и равно …
| | | ||
| | |||
| | |||
| |
Решение:
Векторное произведение двух векторов: и , заданных своими координатами, находится по формуле:
.
В нашем случае
Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве
Норма вектора 
, 
в евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением равна 5 при 
равном …
| |  | ||
 | |||
 | |||
 |
Решение:
Так как 
, то 
. Следовательно, 
и 
.
Тема: Градиент скалярного поля
Градиент скалярного поля 
равен нулевому вектору в точке …
| |  | ||
 | |||
 | |||
 |
Решение:
Градиент скалярного поля находится по формуле: 
, где 
. Градиент поля равен нулевому вектору тогда и только тогда, когда 
, то есть когда 
.
Решив эту систему, получаем единственное решение 
.
То есть, градиент поля 
равен нулевому вектору в точке .
Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве
Даны векторы 
и , угол между которыми равен . Тогда проекция вектора на вектор равна …
| | |||
| – 2 | |||
 |
Тема: Векторное произведение векторов
Даны два вектора: 
и 
. Тогда вектор 
будет перпендикулярен и вектору , и вектору , при равном …
| | | ||
 | |||
| | |||
 |
Решение:
Вектор 
, перпендикулярный и вектору , и вектору , можно найти как результат векторного произведения векторов и , заданных своими координатами:
.
В нашем случае 
Вектора и 
должны быть коллинеарны. То есть 
и, следовательно 
.