Тема 1. Випадкові події та операції над ними

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ БІЗНЕС-КОЛЕДЖ

О.О. ХОДАКОВСЬКА

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

ТА

МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА

Збірник задач

Черкаси2013

Видання здійснено за фінансової підтримки громадської організації

„Рада батьків Черкащини”

УДК 519.1(075)

Рекомендовано до друку рішенням Розповсюдження та тиражування

методичної ради Черкаського без офіційного дозволу ЧДБК заборонено

державного бізнес-коледжу.

Протокол № 3 від 12 грудня 2011 р.

Укладач: Ходаковська О.О.

Теорія ймовірностей та математична статистика.

Збірник задач

Черкаси, 2013 р. – 92 с.

Рецензент: І.А. Акуленко, кандидат педагогічних наук, доцент кафедри алгебри
та математичного аналізу Черкаського національного університету
ім. Б. Хмельницького

Посібник містить задачі з таких розділів теорії ймовірностей та математичної статистики: „Основні поняття теорії ймовірностей”, „Залежні та незалежні випадкові події. Умовна ймовірність, формули множення ймовірностей”, „Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі”, „Випадкові величини”, „Основні закони розподілу”, „Граничні теореми”, „Статистичні розподіли вибірки”, „Статистичні оцінки”, „Статистичні гіпотези”, „Елементи дисперсійного, кореляційного та регресійного аналізу„.

Розраховано на студентів вищих навчальних закладів І-ІІ рівнів акредитації.

Затверджено на засіданні циклової © О.О. Ходаковська, 2013 р.

комісії фундаментальних дисциплін

Протокол № 4 від 30 листопада 2011 р.

Зміст

Передмова 4

Тема 1. Випадкові події та операції над ними 5

Тема 2. Класичне означення ймовірності, геометрична та статистична ймовірність 7

Тема 3. Елементи комбінаторики 9

Тема 4. Аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки 12

Тема 5. Умовна ймовірність. Формули множення ймовірностей 14

Тема 6. Формула повної ймовірності. Формула Байєса 18

Тема 7. Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі 24

Тема 8. Випадкові величини 29

Тема 9. Числові характеристики випадкових величин та їх

властивості 32

Тема 10. Основні закони розподілу випадкових величин 37

Тема 11. Граничні теореми теорії ймовірностей 41

Тема 12. Основні поняття математичної статистики.Дискретний статистичний розподіл вибірки 43

Тема 13. Інтервальний статистичний розподіл вибірки 46

Тема 14. Двовимірний статистичний розподіл вибірки 49

Тема 15. Парний статистичний розподіл вибірки 51

Тема 16. Статистичні оцінки параметрів генеральної сукупності 53

Тема 17. Побудова довірчих інтервалів 55

Тема 18. Статистичні гіпотези. Перевірка правильності нульової гіпотези про значення генеральної середньої 62

Тема 19. Перевірка правильності нульових гіпотез про рівність двох генеральних середніх та двох дисперсій 65

Тема 20. Елементи дисперсійного, кореляційного та регресійного аналізу 70

Список рекомендованої літератури 75

Додатки 76

Передмова

Методи теорії ймовірностей часто застосовуються в різних сферах науки і техніки: в теорії надійності, теорії масового обслуговування, в теоретичній фізиці, геодезії, астрономії, теорії помилок спостережень, теорії автоматичного управління, загальній теорії зв¢язку та є підґрунтям для математичної й економічної статистики, яка в свою чергу використовується при плануванні та організації виробництва, в аналізі технологічних процесів, у психології, медицині та вибірковому контролі.

У зв¢язку з тим, що економічна інформація є не досить точною і часто носить випадковий характер переважна більшість економічних задач моделюється за допомогою ймовірносних чи статистичних методів. Способи побудови таких задач розглядаються в курсі теорії ймовірностей і математичної статистики.

Збрiник охоплює такi розділи: „Основні поняття теорії ймовірностей”, „Залежні та незалежні випадкові події. Умовна ймовірність, формули множення ймовірностей”, „Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі”, „Випадкові величини”, „Основні закони розподілу”, „Граничні теореми”, „Статистичні розподіли вибірки”, „Статистичні оцінки”, „Статистичні гіпотези”, „Елементи дисперсійного, кореляційного та регресійного аналізу”.

Посiбник спрямований на забезпечення студентів матеріалами для самостійної роботи, на засвоєння відповідного математичного апарату і вироблення навиків розв’язування типових задач теорії ймовірностей та математичної статистики.

Посібник може бути рекомендований студентам ВНЗ І-ІІ рівнів акредитації за такими напрямами пiдготовки: „Програмна iнженерiя” та „Комп’ютерна iнженерiя”, що вивчають теорiю ймовiрностей та математичну статистику.

Тема 1. Випадкові події та операції над ними

1. Монету підкидають тричі. Визначити простір елементарних подій цього експерименту.

2. Задано дві множини цілих чисел = {1;2;3}, = {1;2;3;4}. Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Визначити елементарні події цього експерименту – появу пари чисел.

3. Стрілок робить один постріл у мішень, поділену на три області. Позначимо: - влучення у першу область, - влучення у другу область, - влучення у третю область, - немає влучень у мішень, В - влучення у першу або другу області, D - влучення хоча б в одну область. Записати події В і D.

4. Стрілок стріляє двічі по мішені. Описати простір елементарних подій та записати подію, яка полягає в тому, що:

1) Стрілок влучив у мішень принаймні один раз.

2) Стрілок влучив рівно один раз.

3) Стрілок не влучив у мішень.

5. Задано множину цілих чисел = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}. Навмання з цієї множини беруть одне число. Побудувати такі випадкові події:

1) З’явиться число, кратне 2.

2) З’явиться число, кратне 3.

3) З’явиться число, кратне 5.

6. Задано множину цілих чисел = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15}. Навмання з цієї множини беруть одне число. Побудувати такі випадкові події:

1) А – узяте число, кратне 2.

2) В – узяте число, кратне 3.

Визначити: , , .

7. Нехай A, B, C – три довільні події. Знайти вираз для події D, яка полягає в тому, що відбулися хоча б дві з них.

8. Прилад складається з двох блоків першого типу і трьох блоків другого типу. Подія полягає в тому, що придатний до роботи і-й блок першого типу, – придатний до роботи і-й блок другого типу. Прилад працює, якщо придатний до роботи хоча б один блок першого типу і не менш ніж два блоки другого типу. Виразити подію “прилад працює” через дві події і .

9. З гармати зроблено два постріли. Подія А – влучення при першому пострілі;
В – влучення при другому пострілі. Що означає подія А+В?

10. Дано множини цілих чисел: А = {1;2;3}, В = {3;4}. Знайти , , .

11. Дві особи стріляють у мішень по одному разу. Подія А означає, що в мішень влучив перший стрілок, В – другий стрілок. Виразити через А і В такі події:

1) С – два влучення у мішень;

2) D – хоча б одне влучення у мішень;

3) E – лише одне влучення у мішень.

12. A, B, C – випадкові події. Записати наступні події:

1) Відбулася лише А.

2) Відбулися лише А і В.

3) Відбулися всі три події.

4) Відбулася хоча б одна подія.

5) Відбулася тільки одна подія.

6) Не відбулося жодної події.

7) Відбулися тільки дві події.

8) Відбулися хоча б дві події.

13. Маємо такі події: А – навмання взята деталь першого сорту, В – навмання взята деталь другого сорту, С – навмання взята деталь третього сорту. Пояснити, що означають події: , , , .

14. Дано множини цілих чисел: А = {1;3;5;7;9}, В = {1;2;3;4;5}, С={1;4;6;8;10}. Знайти , , , , , , , , , , , .

15. Дано множини цілих чисел: А = {-1;-2;-3;-4;-5;-7},В = {-1;-2;-3;-4;-5;-6;-7;-8;9}, С = {-2;-4;-6;-8}. Знайти , , , , , .

16. Дано множини цілих чисел: А= {2;4;6;10;12;14;16;18}, В={4;8;12;16;20}, С={2;4;6;8;10}.Визначте такі множини: , , , , , .

17. Множина А складається з різних всеможливих очок, що утворюється при підкиданні пари гральних кубиків, а В = {5;7;9}. Визначте .

18. Дано множини цілих чисел: U={4;6;8;10;12;14;16;18}, А={4;6;8;10}, В={4;8;16}. Намалюйте діаграму Венна і покажіть на ній ці підмножини.

19. Для множин із задачі 1.18 знайти: , , , . Результати дій відобразити графічно за допомогою діаграм Венна.

20. Задано такі множини: А={3;– 4}, В={ (х– 3)(х+ 4)=0}, D={0;– 4;–3},

{ , Які з них є рівними? Визначте усі співвідношення між цими множинами.

21. Підкидають монету і гральний кубик. Описати простір елементарних подій.

22. Підкидають монету доти, доки не випаде герб. Описати простір елементарних подій.

23. Які прості вирази відповідають подіям:

1) ;

2) ;

3) ?

24. Довести рівності:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .