Постановка и аналитическое решение задачи

БИФУРКАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ

В ШИРОТНО – ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ТЕПЛОТЕХНИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ*

Аннотация. Исследуются динамические режимы и бифуркации в импульсной системе управления нагревательной установкой, состояние которой описывается дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями. Показано, что рассматриваемая система может демонстрировать чрезвычайно большое многообразие нелинейных явлений и бифуркационных переходов, таких как, квазипериодичность, мультистабильное поведение, хаотизация колебаний через классический каскад бифуркаций удвоения периода и бифуркации граничного столкновения.

Ключевые слова: нагревательная установка, тепловой объект, теплопроводность, тигель, аппроксимация, дробный порядок, закон управления, полевой транзистор, широтно-импульсная модуляция, бифуркация.

Введение

Технология выращивания монокристаллов представляет собой процесс управляемой кристаллизации, при котором качество растущего кристалла определяется точностью управления условиями фазовых переходов [1]. При выращивании кристалла синтетического сапфира необходимо обеспечить закон изменения температуры в тигле от 25°С до 2050°С с определённой степенью наращивания и спада температуры, что предполагает применение автоматической системы управления с возможностью программного задания изменения температуры в тигле с заданной точностью.

Теплотехнический объект, нагревательная установка, состоит из следующих зон: внутреннего печного пространства 1, заполненного воздухом или газом; нихромового электронагревателя 2, равномерно распределённого во внутреннем слое футеровки 3, состоящей из магнезитового кирпича и внешнего слоя футеровки 4 из минеральной ваты в цилиндрическом стакане из оцинкованной стали (рис. 1). Геометрическая форма печи – ограниченный цилиндр, сверху и снизу которого располагается футеровка.

Для решения задачи синтеза закона управления классическим методом аппроксимации с использованием свободно распространяемой библиотеки FOMCON по экспериментальной кривой разгона теплового объекта определена передаточная функция нагревательной установки следующего вида:

где – коэффициент передачи объекта, T₁,T₂ – постоянные времени объекта.

Используемые в настоящее время регуляторы температуры с тиристорными преобразователями существенно искажают форму кривой тока, потребляемого из сети, приводя к возникновению в питающей сети несинусоидальных режимов.

Для устранения указанных недостатков на базе патента авторов [2] разработана и реализована система управления нагревателем высокой мощности, построенная на основе высокочастотного преобразователя электрической энергии с широтно-импульсным регулированием. Повышение энергетических показателей с упрощением управления технологическим объектом достигается за счет использования в качестве ключевых элементов преобразователя полевых транзисторов с применением дробных законов управления широтно-импульсной модуляцией, улучшающих качество системы [3].

Однако в нелинейных импульсных системах при вариации параметров объекта управления, а также воздействии внешних возмущений возможно возникновение сложных нелинейных явлений, включая колебания на пониженных частотах, кратных частоте модуляции, квазипериодические и хаотические режимы [4,5].

Следствием этого является многократное увеличение амплитуды колебаний температуры нагревательной установки, снижение точности регулирование и нарушение хода технологического процесса.

Целью данной работы является численное исследование бифуркационных явлений в динамике импульсной системы управления нагревательной установкой.

Постановка и аналитическое решение задачи

Уравнение движения системы управления нагревательной установкой, непрерывная линейная которой описывается передаточной функцией (1), имеет вид

где –температура в нагревательной установке; , – сигналы на входе и выходе широтно-импульсного модулятора, соответственно; – коэффициент передачи непрерывной линейной части системы; T₁, T₂ – постоянные времени.

Введем , и перепишем уравнение движения (2) в нормальной форме Коши:

(3)

Выходной сигнал модулятора

где T₀ – период модуляции, τ_k – ширина импульса, определяемая видом импульсной модуляции. В работе рассматривается система с широтно-импульсной модуляцией первого рода (ШИМ-1) и пропорциональным корректирующим звеном в цепи обратной связи. Тогда входной сигнал модулятора определяется выражением

Здесь V_ref – сигнал задания температуры нагревательной установки, β – коэффициент передачи датчика температуры, α – коэффициент усиления.

При ШИМ-1 величина τ_k находится как:

где V_s – опорный сигнал модулятора.

Введем обозначения

, , .

Уравнения движения (3) примут вид:

Исследование динамической системы (6) можно свести к изучению свойств двумерного кусочно-гладкого отображения:

, ,

, .

Здесь ширина импульса τ_k согласно (5) определяется

где – матрица - строка.

В исследованиях были выбраны следующие значения параметров модели: = 10240 c²; = 352 c; K = 327.8 C°/(B·c); T₀= 10 с; U₀= 24 В – напряжение питания; β = 0.01 B/C°; V_s = 5 B; α > 0; V_ref = 5 B.

Период T периодического движения динамической системы (6) в общем случае является кратным периоду внешнего воздействия T₀: T = mT₀, m = 1, 2, . . . . Движение с таким периодом будем называть m-циклом или циклом периода m.

Бифуркационный анализ

При проведении бифуркационного анализа в качестве варьируемых параметров были выбраны напряжение питания U₀ и коэффициент усиления α. На рис. 2 приведены однопараметрические бифуркационные диаграммы, рассчитанные для разных значений U₀ при изменении коэффициент усиления α.

Рис. 2. Бифуркационные диаграммы при различных параметрах U₀ и T_0, V_s = 5 B, V_ref = 5 B (соответствует уставке 500 С°)

При малых значениях U₀ система демонстрирует квазипериодическое поведение с ярко выраженной мультистабильностью. На рис. 2, а изображена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая рождение замкнутой инвариантной кривой, отвечающей двухчастотному квазипериодическому режиму. Как следует из рис. 2, а, при увеличении коэффициент усиления α 1 - цикл теряет устойчивость через бифуркацию Неймарка - Саккера. Потеря устойчивости приводит к возникновению устойчивой замкнутой инвариантной кривой, при этом 1 - цикл продолжает существовать, но становится неустойчивым фокусом. Как известно, характер движения на замкнутой инвариантной кривой определяется числом вращения, когда оно иррационально, точки отображения плотно заполняют инвариантную кривую и динамика становится квазипериодической .

При рациональном числе вращения на инвариантной кривой имеется четное число периодических орбит, половина из которых устойчивые, а половина — седловые, а сама инвариантная кривая образована замыканием неустойчивых многообразий седловых циклов. На рис. 2, а окно с периодической динамикой отвечает области устойчивости резонансного 4-цикла (области существования замкнутой инвариантной кривой с числом вращения 1:4). При увеличении α резонансный 4-цикл претерпевает каскад бифуркаций удвоения периода, завершающийся хаотизацией колебаний, при этом замкнутая инвариантная кривая разрушается. Численные эксперименты показали, что с увеличением U₀ область устойчивости 1 - цикла уменьшается.

Бифуркационная диаграмма, изображенная на рис. 2, б, иллюстрирует типичный сценарий рождения сосуществующих аттракторов. При изменении коэффициента усиления α жестко возникает устойчивый 3 - цикл. При дальнейшем увеличении α реализуется бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода, завершающийся хаотизацией колебаний. По этой причине в широком диапазоне изменения параметров наряду с устойчивым 1 - циклом существуют либо устойчивые периодические колебания, либо хаотические режимы. То есть в зависимости от начальных условий может устанавливаться или периодическое, или хаотическое движение.

На рис. 2, в показан случай субкритического учетверения периода 1-цикла через так называемую бифуркацию граничного столкновения («border - collision bifurсation», см., например, [4–10]). На рис. 2, г представлен пример рождения 4-х полосного хаотического аттрактора (four-band chaotic attractor) через border-collision flip bifurсation [4,10].

Заключение

В статье представлены результаты бифуркационного анализа широтно-импульсной системы управления нагревательной установкой.

Выявлено, что при малых значениях напряжения питания системы демонстрирует квазипериодическое поведение с ярко выраженной мультистабильностью (см., например, [10]). Но при этом система имеет достаточно большой запас устойчивости по коэффициенту усиления.

Однако, при увеличении напряжения питания область устойчивости 1-цила (рабочего режима) сужается, и потеря устойчивости происходит через бифуркацию граничного столкновения, приводящая к внезапной хаотизации колебаний.

*Авторы выражают благодарность проф. Жусубалиеву Ж.Т. за обсуждение результатов исследований и полезные комментарии.

Работа выполнена в рамках программы стратегического развития БГТУ им. В.Г. Шухова на 2012-2016 годы, договор № А-4/15 от 14.04.2015 г.

Список литературы

1. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М.: Мир, 1974. 540 с.

2. Пат. 2515129 Российская Федерация, МПК G05D 23/00. Система регулирования температуры электронагрева / Кижук А.С., Рубанов В.Г., Чуев А.В.; патентообладатель Белгород БГТУ им.В.Г.Шухова. - № 2013101096/09; заявл. 09.01.13; опубл. 27.04.14, Бюл. № 12. 5 с.

3. Гольцов Ю.А., Кижук А.С., Рубанов В.Г. Управление температурным полем нагревательной установки в форме модели дробного порядка // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2016. № 2. С. 38-44.

4. Zhusubaliyev, Zh.T. and E. Mosekilde, 2003. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, pp: 363.

5. Banerjee, S. and G. C. Verghese, 2001. Nonlinear Phenomena in Power Electronics, IEEE Press, New York, USA.

6. Bernardo, Di. M., M. I. Feigin, S. J. Hogan and M. E. Homer, 1999. Local Analysis of C -bifurcations in n-dimensional Piecewise-Smooth Dynamical Systems // Chaos, Solitons and Fractals, 10(1): 1881-1908.

7. Nusse, H. E. and J. A. Yorke, 1992. Border-Collision Bifurcations Including “Period Two to Period Three” for Piecewise Smooth Systems // Physica D, 57: 39-57.

8. Banerjee, S., P. Ranjan and C. Grebogi, 2000. Bifurcations in Two-Dimensional Piecewise Smooth Maps – Theory and Applications in Switching Circuits // IEEE Trans. Circ. Syst. I., 47(5): 633-643.

9. Zhusubaliyev, Zh.T., E. A. Soukhoterin and E Mosekilde, 2001. Border-Collision Bifurcations and Chaotic Oscillations in a Piecewise-Smooth Dynamical System // Int. J. Bifurcation Chaos, 11(12): 1193-1231.

9. Bernardo, Di. M., C. J. Budd, A. R. Champneys and P. Kowalczyk, 2008. Piecewise-smooth Dynamical Systems: Theory and Applications, in: Applied Mathematical Sciences, vol. 163, Springer, pp: 483.

10. Zhusubaliyev, Zh. T. and E. Mosekilde, 2015. Multistability and Hidden Attractors in a Multilevel DC/DC Converter // Mathematics and Computers in Simulation, 109: 32-45.