Modele autoregresyjne i zasady budowy prognoz na ich podstawie

Model adaptacyjny Browna i zasady prognozowania na jego podstawie

· Bez wahań sezonowych

-modelowa wartość wskaźnika ekonomicznego

Yt- bieżąca wartość wskaźnika ekonomicznego

(t=1,…,n)

ŷt-1 - wygładzona wartość modelowa cofnięta o 1 jednostkę czasową

- stała wygładzania. Należy do (0;1). Ustalana metodą prób i błędów.

F=∑(Yt – Ŷt)²

=minimum, czyli żeby rzeczywiste wartości różniły się jak najmniej od modelowych. Po ustaleniu ALFA budujemy prognozę dla okresu T:

Y^P_{n+h = Ŷn + * h + * h}² + …

n+h=T

Ŷn- ostatnia modelowa wartość dla ustalonego optymalnego α

h- realne wyprzedzenie czasowe prognozy w jednostce czas/ horyzont prognozy

!-silnia

∆Ŷn- przyrost ostatnich wartości modelowych

Budowa delty:

różnica dwóch ostatnich przyrostów

∆₂Ŷn=(Ŷn-Ŷn-1) * (Ŷn-Ŷn-2)

· Dla szeregu z wahaniami sezonowymi:

Polega na:

a) oczyszczeniu szeregu z wahań sezonowych

b) zbudowaniu prognozy metodą wygładzenia wykładniczego lub

c) obliczeniu prognozy

Metoda pojedynczego wygładzania wykładniczego:

Metoda drugiego wygładzenia:

dla t=2,…n

6. Wykorzystanie modelu adaptacyjnego Holta w prognozowaniu:

Stosuje się do wygładzenia szeregów czasowych, w których występują wahania przypadkowe i tendencja rozwojowa. To zmodyfikowany model Browna.

Ŷ₁= Y₁

Ŷ_t= αY_t + (1-α) * ∑ β_jŶ_t-j (t=1,…,n)

Ŷ_t –modelowa wartość wskaźnika ekonomicznego

Y_t- bieżąca wartość w.e.

α-stała wygładzania

k – opóźnienie k<t

β₁ – waga nadana t-j ocenie wartości trendu (j=1…k), przy czym β₁ ϵ (0;1) oraz ∑β_j=1 / stała wygładzania

-metoda wag harmonicznych

-im bardziej cofamy się do tyłu, tym wartości β powinny być mniejsze

Prognozę obliczamy zgodnie ze wzorem:

Y^P_n+h = Ŷn + h * ∑βj*∆Ŷn-1

Ŷn – ostatnia najnowsza ocena wartości trendu dla optymalnego α i β

∆Ŷn-1 – przyrost wygładzonej zmiennej ważonej β

h-horyzont

W metodzie Holta uwzględniono zależność przyrostu ocen wartości trendu w okresie t od zmiany (przyrostu) ocen wartości trendu w okresie poprzednim. Wpływ poprzedniego okresu określa stała wygładzenia BETA. Gdy BETA jest bliska 0 to wpływ jest silny.

7. Zasady konstrukcji modelu walki konkurencyjnej na rynku dóbr i usług

Model GOMERTZA

Wt – wskaźnik walki konkurencyjnej, Wt ϵ (0;1)

Nt – wartość sprzedaży nowego produktu w czasie t

St – wartość sprzedaży starego produktu w czasie t

Model ten zakłada, że wskaźnik walki konkurencyjnej rozkłada się wg krzywej Gaussa/krzywej naturalnej

Na początku walka konkurencyjna pojawia się powoli, spełnia się ona do końca gdy stary produkt zostanie całkowicie wyparty z rynku, wtedy wykres jest blisko asymptoty 1.

Prawo naturalne, czyli konkurencyjność mówi, że krzywa Gaussa jest trójfazowa:

I faza: wymierania starego produktu

II faza: nabierania na sile nowego produktu

III faza: proces przygasania – siła nowego produktu na skutek działań konkurencyjnych wobec nowego produktu firm starszych

Wt = β₁ + β₂^β3t ßà ln Wt = lnβ₁ + lnβ₂ * lnβ₃^t

Wt – wskaźnik walki konkurencyjnej

Β₁ B₂ B₃ – parametry

t-zmiana czasu

1.Wt dla okresów

Wt1

Wt2

Wt3

.

Wtn

2. Logarytmujemy Wt

3. Dzielimy wartości logarytmowane na 3 równe części (S1,S2,S3)k, t czynnika we 3k=n

k-ilośc elementów w każdej części

β₃^k= = [ ]^1/k = dwustronne logarytmowanie

lnβ₂ =

lnβ₁ = (S₁- )

4. Sumujemy wyznaczone części

8. Zagadnienie izokwant czynników i krańcowych stóp substytucji w dwuczynnikowym modelu potęgowym

Ŷ_k = α₀ X_1t^α1X_2t^α2 | … j = 1,..,k

lnYt = lnα₀ + α₁lnX_1t + …

∑αj >1

∑αj = 1

∑αj <1

Vt = α₀ k_t^α1 l_t^α2

k-kapitał

l – zatrudnienie

V – wysokość produkcji

Dobór czynników K i L aby osiągnąć założony poziom produkcji należy znaleźć izokwanty czynników produkcji

Każdy punkt na tej krzywej to kombinacja K i L dająca produkcję Yzero. Tylko pewien łuk jest możliwy, dobieramy tak aby zminimalizować koszty. Trzeba znaleźć takie rozwiązanie aby mieć min kosztów lub max zysku.

Funkcja kosztów k i l

Należy podstawić wzór jednej z izokwant, policzyć pochodną i przyrównać do 0.

R- krańcowa stopa substytucji

R_k,l = ( )^1/α1

R_{k,l =} ( )^1/α2

Substytucja pracy przez kapitał

∆k= -

∆l = -

9. Prognostyczne modele popytu na dobra podstawowe i dobra wyższego rzędu

Dobra podstawowe

1/Pt = Dt+α1/α0Dt

1/Pt = 1/α0 + α1/α0 * 1/Dt

1/Pt = Pt*

1/α0=A

1/Dt=Dt*

α1/α2=B

Powstaje funkcja liniowa aby oszacować A i B stosujemy metodę najmniejszych kwadratów, wyliczamy i powracamy do modelu pierwotnego.

Dobra wyższego rzędu

nie da się zastosować MNK (bo mamy alfa1 i za dużo czynników) wiec stosuje się interakcyjną metodę najmniejszych kwadratów

Umownie, że:

-α0(α1+α2)=B, to Pt=α0 + B* 1/Dt+αt

10. Liniowy i wykładniczy model trendu

LINIOWY:

F(x)=(x1t,x2t,..et)-model prosty, model symptomatyczny, nie ma charakteru przyczynowo-skutkowego

Yt=f(t,et), przy założeniu, że tendencja zmian się nie zmieni

Yt=a+bt – apaliczna postać funkcji trendu

a - wyraz wolny

bt – współczynnik kierunkowy

Yt- wartość zmiennej endogenicznej, rzeczywistej

A i b – parametry szacowane za pomocą metody najmniejszych kwadratów

Wykres:

Y^t – zmienne leżące na lini trendu stąd wzór na model trendu liniowego to:

Y^t =a+bt+et ; et- składnik losowy

Budujemy układ równań dla oszacowania parametrów a i b. Oszacowanie czy model się nadaje

ΣYt= na = b *Σt

Σt*Yt=a*Σt+b*ΣT2

Obliczenie minimum Σ(Yt-Y^t)2= minimum

Σ[Yt-(a+bt)2]= minimum <- wtedy bd najlepsze

Be=Σ(Yt-Y^t)2 / n ; be – błąd modelu, im większy błąd tym gorszy model, skrajny przypadek =0

Ve= Se/Yt *100% - względny błąd

t - średnia zmiennej czasowej

y – średnia zmiennej y

W celu oceny dopasowania oszacowanego modelu do danych empirycznych obliczamy: wariancję, odchylenie standardowe reszt, współczynnik zmienności reszt, współczynnik zbieżności i determinacji liniowej

YT= a + bT

Yn+1= a + bn+1

n+1 = T – określony przyszły okres na który budujemy prognozę, wartość prognozy T możemy obliczyć stosując zasadę nieobciążonej predykcji

WYKŁADNICZY MODEL TRENDU:

Równanie postaci funkcji trendu wykładniczego

Przy założeniu b>0, b≠1, (t=1,..,n)

Model trendu wykładniczego:

;

b>1 – to tendencja wzrostu

b<1 – to tendencja spadku

b=1

Tempo zmian obliczamy ze wzoru tempo=(b-1)*100%

Np. 1, 0378 oznacza wzrost o 3,78%

Y^t – modelowy poziom wskaźnika w okresie t

a i b parametry wyznaczone za pomocą MNK

t – zmienna reprezentująca czas

Aby móc wyznaczyć parametry a i b wzór na model wykładniczy trendu, sprowadzamy do postaci liniowej, logarytmując obie strony.

ß--à

Budujemy układ równań:

ΣlnYt = nlna + lnβ * Σt

Σt * nlYt = lnaΣt + lnbΣt2

11. Metoda „obszarów decyzyjnych” w analizie ryzyka bankowego

12. Zasady konstrukcji dwuskładnikowego portfela akcji w przypadku różnego skorelowania stóp z12. Zasady konstrukcji dwuskładnikowego portfela akcji w przypadku różnego skorelowania stóp zwrotu.

I. Portfel z najwyższym ryzykiem

S12~1

Skorelowana stopa zwrotu z dwóch akcji obliczana ze wzoru (a+b)2= a2+b2 + 2ab

Sp2= (W1S1+ W2S2)2

Sp=√(W1S1+W2S2)2

Przykładowe dane:

St. Zwrotu Ryzyko

R1=6% S1=3%

R2=14% S2=8%

Jeśli ktoś nie lubi ryzyka to kupuje akcje w punkcie, jeśli ktoś ryzykuje kupuje akcje w punkcie B

II. Stopy zwrotu silnie ze sobą skorelowane:

S12~-1

Sp2= (W1S1- W2S2)2

Sp=√(W1S1-W2S2)2

W1= S2/S1+S2

W2 = S1/ S1+S2

W1 i W2 - portfele o ryzyku zerowym

Wykres: Inwestowanie od A do C nie ma sensu, bo jest to nieopłacalne, ponieważ w punkcie D jest to samo ryzyko, a większe zyski, w punkcie C jest zerowe ryzyko.

III. S12~0

Sp2 = W₁2S₁2 + (1 – W1)2 S₂2

W₁ = S₂2/ S₁2+ S₂2

W₂= S₁2/ S₂2+ S₁2

Sp minimalne = S₁S₂/√ S₁2+ S₂2

Sp min – ryzyko minimalne portfela

Wykres: W punktach od C do D należy rozważać portfele, od D do B podejmujemy ryzyko na własna odpowiedzialność, od A do C nie opłaca się inwestować.

12. Współczynniki rozbieżności prognoz H.Theila

Za jego pomocą możemy obliczyć błąd:

Da się ten współczynnik rozłożyć na 3 części składowe i każda z nich wskazuje na przyczynę.

Ta część błędu wskazuje na błąd produkcji – najgroźniejsza odmiana błędu ( udział najgorszego(statystycznego) typu błędu w ogólnej strukturze błędu.

Odchylenie standardowe, ta część błedu wskazuje na różnicę odchyleń np. braliśmy bardzo duże odchylenie w rzeczywistości. Błąd złego przewidywania skali zmienności zjawiska.

Wskazuje na to, że metoda prognostyczna przewidziała punkty zwrotne zjawiska. Błąd, który mówi o przewidywaniu punktów zwrotnych.

13. Błędy predykcji „ex ante” na przykładzie modeli trendu

O ile nasza prognoza może się różnić od rzeczywistego zjawiska.

dla modelu trendu Xt=[1T] – Informuje o ile przeciętnie może się różnić prognoza od wartości rzeczywistej ceteris Paribas.

Aby ocenić dopasowanie oszacowanego modelu błędu należy w pierwszej kolejności obliczyć miary dopasowania. Są nimi:

1. Wariancja Se²= ²

2. Odchylenie standardowe reszt Se= ²

3. Współczynnik determinacji liniowej R²= 1 – Q²

4. Współczynnik zbieżności, czyli Q²=

5. Współczynnik zbieżności reszt Ve= , stąd

Im mniejsza wartość tym prognoza bardziej prawdopodobna

Sdt-ocena ex ante średniego błędu predykcji

Se^2-wariancja

t-zmienna czasowa

t_ - srednia zmiennych czasowych

T-określony przyszły okres na który prognozujemy

n-liczba okresów

Dla modelu wykładniczego:

14. Grawitacyjne modele wymiany międzynarodowej

Model grawitacyjny bada oddziaływania jednostek, które wykorzystują założenia zbliżone do prawa grawitacji Newtona i potencjału Laguange’a. Wielkość oddziaływań jest funkcją wielkości mas i odległości między nimi.

Xij=f(Ei,Mj,Dij)

Ei=f(Yi,Pi) dochód, liczba ludności

Mj=f(Yj,Pj)

Xij=F(Yi,Pi.Yj,Pj,Dij) – miernik względnych oddziaływań

Najczęściej przyjmuje się że oddziaływania mają charakter multiplikatywny

15. Zasady konstrukcji macierzy przepływów strumieni handlu międzynarodowego

16. Modele logitowe i przykłady ich zastosowania w praktyce gospodarczej

1.Określamy prawdopodobieństwo z jakim dany wariant zmiennej jakościowej występował w przeszłości w zależności od występowania innych czynników

2.Rozpatrujemy metody prognozowania zmiennych 0-1

Bujemy model opisujący oczekiwane wartości zmiennej Y

Rosnąca funkcja kombinacji liniowej zmiennych x1,xn, składnika losowego (są to zmienne objaśniające czynniki wpływające na Y)

W modelu legitowym f.F jest dystrybuantą rozkładu logistycznego.

L-logit (funkcja odwrotna do F)

Model legitowy stosuje się np. do oceny klienta w banku, który ubiega się o kredyt.

17.

18. Zasady obliczania i wykorzystania w prognozowaniu wskaźników sezonowości

- Polega na wyznaczeniu poszczególnym fazom/ sezonom cyklu wskaźników sezonowości.

- wskaźniki sezonowości są to miary, które pokazują, w jaki sposób zmieniają się wahania w szeregu czasowym, w jaki sposób zmieniało się dane zjawisko wobec poprzednich.

i = 1,2,…,k – lata obserwacji

j = 1,2,..,m – szereg czasowy

t= 1,2,..,N – ciag numeracji okresów ; N=m*k

Metoda wyznaczania wskaźników sezonowości jest etapowa:

1 ETAP: Wyodrębnienie trendu

trend liniowy, wartości średnie na lini

2 ETAP: Eliminujemy trend z szeregu czasowego, dokonujemy tego przez podzielenie wyrazów szeregu empirycznego przez odpowiadające im wyrazy szeregu wykładniczego

Wt= Yt/Y^t > 1 np. 1,97 występuje wtedy gdy wartość rzeczywista jest większa od wartości wyrazu z szeregu wykładniczego

Wt= Yt/Y^t<1 np. ),86 wystepuje wtedy, gdy wartość rzeczywista jest mniejsza od Yt

Wt – wartość wskaźnika sezonowego dla j-tej fazy każdego cyklu

Yt- wyraz szeregu empirycznego; rzeczywista wartość

Y^t – wyraz szeregu wykładniczego

3 ETAP: Grupujemy wskaźniki sezonowości Wt i wyznaczamy wskaźniki sezonowości dla poszczególnych faz

Sj= Σ Wt/ k

4 ETAP: Sumujemy wskaźniki

ΣSj = m np. jeżeli m=4, gdy kwartalne to ΣSj powinna wynosić 4

PROGNOZA:

S1 – wskaźnik sezonowości dla 1-wszej fazy cyklu

n+1 – okres prognozy

a,b – parametry funkcji trendu

19. Zintegrowany model trendu i wahań sezonowych

Z1	Z2	Z3	Z4
1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1
1	0	0	0
0	1	0	0

Parametry oblicza się metodą MNK ma takie miano jak y np. zł +/-

20. Wielorównaniowe modele prognostyczne – zapis skalarny i macierzowy.

Zapis skalarny:

21. Rodzaje wielorównaniowych modeli prognostycznych

Podział zależy od postaw macierzy BETA:

1. Model prosty

Ø B to macierz diagonalna (jednostkowa)

Ø Zmienne Y nie oddziałują na siebie

Ø każde równanie modelu można traktować osobno i obliczyć metodą MNK

2. Model rekurencyjny

Ø B to macierz trójkątna lub może nią być po przestawieniu odpowiednich zmiennych

Ø zmienne Y oddziałują na siebie ale tylko w postaci łańcucha rekurencyjnego w jednym kierunku – łańcuch powiązań Y

Ø każde równanie modelu można traktować osobno i obliczyć MNK

Ø predykcja łańcuchowa – obliczamy prognozę Yt1 dla zmiennej Yt1 zależnej jedynie od zmiennych z góry ustalonych

3. Model o równaniach współzależnych

Ø ani macierz diagonalna ani trójkątna

Ø zmienne oddziaływają na siebie, ale w dowolny sposób

Ø istnieją sprzężenia zwrotne

Modele autoregresyjne i zasady budowy prognoz na ich podstawie

Stosuje się je do prognozowania zjawisk rozwijających się nieregularnie w czasie. Zakłada się zatem, że stan zjawiska w danym momencie zależy od stanów wcześniejszych.

-Cechą charakterystyczną tych modeli jest to, że nie określają one ilościowo związków pomiędzy zmienną endogeniczną a zmiennymi określającymi.

-zmienne określające są to wartości zmiennej endogenicznej opóźnione w czasie,

-oznacza to, że są to modele, w których stan wskaźnika badanego zależny jest od wartości tego samego wskaźnika w poprzednich okresach,

-jest to forma tzw. inercyjności, co znaczy że wywołany proces sam siebie napędza

-ma postać: Yt = f(Yt-1, Yt-2, Yt-3)

Yt-zmienna będąca funkcją realizacji tej zmiennej w okresach poprzedzających okres badany

Yt-1 – zmienna objaśniająca, którą stanowi wartość zmiennej endogenicznej opóźnionej w czasie

Funkcja ta może przyjmować postać:

Liniową

najczęściej k=2

Yt-zmienna endogeniczna wyjaśniana przez równanie

B0,b1,b2-parametry obliczane za pomocą MNK. Pozwalają na określenie wielkości zmian zmiennej Yt pod wypływem jednostkowych zmian zmiennej Endo w okresie poprzedzającym Yt-j.

j-ilość okresów poprzedzających

Logarytmiczno-liniową

lnȲt = β0 + lnβ1Y_t-1 + ln β2Y_t-1 + lnβnY_n-1

Do prognozowania stosuje się metodę pełzającą:

b₁y_n- okres bieżący

b₂y_n-1-okres poprzedzający okres bieżący

-prognoza na dwa okresy do przodu zależna jest od prognozy na 1 okres do przodu i Yn będącego okresem bieżącym dla prognozy Y^P_n+1 a okresem poprzedzającym dla Y^P_n+2

Aby policzyć należy znać prognozy od do