Распределение Гаусса
Наиболее часто применяемое распределение ошибок – нормальное, или распределение Гаусса. Предположения:
1) искомая величина может принимать непрерывный ряд значений от до
,
2) центр распределения – одновременно его центр симметрии,
3) увеличению отклонения от центра соответствует уменьшение вероятности обнаружить его (
в данном
.
Формула для распределения Гаусса .
Максимальное значение плотности вероятности . Зависимость
от значения
показана на рис.2:
Максимальное значение
соответствует среднему значению
. Поэтому его называют наиболее вероятным значением измеряемой величины.
С увеличением увеличивается вероятность больших ошибок, а значит, уменьшается
. (
разброс результатов).
Каждому распределению соответствует доверительный интервал (на рис. 3 от
до
), где
произвольное отклонение от среднего значения
. Его называют полушириной доверительного интервала.
Рис.3
Интегралы от функции Гаусса для разных пределов интегрирования вычислены и представлены в справочной литературе. Они определяют вероятность попадания результата во всю область значений
. Для области от
до +
интеграл равен единице (достоверный факт,
в этом интервале есть).
Обычно распределение характеризуют не самой полушириной , а относительной величиной
. Именно она используется для определения погрешности многократных измерений. Вероятность того, что значение
попало в доверительный интервал, обозначают
. Она называется доверительной вероятностью. В таблице для величин
указывается и
. Так, при
, т.е. при
, получается
, т.е.
результатов находится в доверительном интервале.
Наиболее часто используются значения , приведённые в таблице:
![]() | |||
![]() | 0,68 | 0,95 | 0,997 |
Для определения погрешности результатов многократных измерений используют не ошибку отдельного наблюдения, а ошибку среднего значения:
, тогда погрешность случайной величины
и окончательный результат записывают в виде:
при
,
где коэффициент Стьюдента, зависящий и от количества результатов и от доверительной вероятности (вычислены по законам теории вероятности). Его значения приведены в таблице 2 для наиболее часто используемых доверительных вероятностей. Выбор доверительной вероятности зависит от характера измерений. При обычных измерениях можно ограничиться
, равной 0,9 или 0,95. Если требования к надёжности результатов предъявляются высокие, то выбирают
Таблица 2
![]() | |||||||||||
![]() | ![]() | 6,3 | 2,9 | 2,4 | 2,1 | 2,0 | 1,9 | 1,8 | 1,8 | 1,7 | 1,7 |
![]() | 12,7 | 4,3 | 3,2 | 2,8 | 2,6 | 2,4 | 2,3 | 2,1 | 2,1 | 2,0 | |
![]() | 31,8 | 7,0 | 4,5 | 3,7 | 3,4 | 3,0 | 2,8 | 2,6 | 2,5 | 2,4 |