Различные случаи положения прямой линии в пространстве

Проекции прямой линии

Прямая линия определяется в пространстве двумя своими точками. Поскольку на эпюре каждая точка определяется минимум двумя своими проекциями (рис. 11), значит прямая определится на эпюре минимум двумя проекциями двух своих точек, например, А и В (рис.14).

Прямая линия всегда проецируется в прямую (а не в кривую), т.к. сама прямая АВ и лучи, проецирующие все ее точки на одну из плоскостей проекций, определяют одну единственную плоскость, которая пересекает плоскость проекций по прямой (см. рис. 15).

1. АВ × АА₁ ≡ пл. ω; пл. ω × пл. П₁ = прямая А₁В₁;

2. АВ × АА₂ ≡ пл. φ; пл. φ × пл. П₂ = прямая А₂В₂.

Таким образом, проекциями прямой являются прямые линии. Эпюр этой прямой приведен на рис. 14.

Рис. 14 Рис. 15

Точка на прямой

Если точка лежит на прямой, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой. На рис. 15 точка С лежит на АВ. Проецирующий луч СС₁ лежит в плоскости ω, поэтому С лежит на А₁В₁. Луч СС₂ лежит в плоскости φ, поэтому С₂ лежит на А₂В₂.

Поскольку АА₁║СС₁║ВВ₁, а АА₂║СС₂║ВВ₂, то , а , откуда . Таким образом, проекции точки С делят проекции отрезка в том же отношении, в котором точка С делит отрезок АВ (рис. 14).

Различные случаи положения прямой линии в пространстве

· Горизонтальная прямая или прямая горизонтального уровня – это прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П₁ (рис. 16). Проецирующая ее на П₂ и П₃ плоскость параллельна П₁, поэтому фронтальная и профильная проекции прямой горизонтальны, а на П₁ она проецируется в натуральную величину (Н.В.). На П₁ также в натуральную величину видны углы β и γ ее наклона к плоскостям П₂ и П₃ соответственно (рис. 17).

Рис. 16 Рис. 17

· Фронтальная прямая или прямая фронтального уровня – это прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П₂ (рис. 18). Плоскость, проецирующая ее на П₁ и П₃, параллельны П₂, поэтому ее горизонтальна проекция на эпюре располагается горизонтально, профильная – вертикально, а на П₂ прямая проецируется в натуральную величину (рис. 19). На П₂ в натуральную величину видны углы α и γ наклона прямой к плоскостям П₁ и П₃.

Рис. 18 Рис. 19

· Профильная прямая или прямая профильного уровня – это прямая, параллельная профильной плоскости проекций (рис. 20). Плоскость, проецирующая ее на плоскости П₁ и П₂, параллельна П₃, поэтому ее фронтальная и горизонтальная проекции на эпюре располагаются вертикально (на одной вертикальной линии проекционной связи), а на профильную плоскость проекций ее отрезки проецируются в натуральную величину (рис. 21). На профильную плоскость проекций в Н.В. проецируются углы α и β наклона прямой к плоскостям проекций П₁ и П₂ соответственно.

Рис. 20 Рис. 21

Для профильной прямой характерны некоторые особенности задания на эпюре.

Рис. 22 Рис. 23 Рис. 24

Определяют ли в пространстве прямую m две проекции, заданные на эпюре (рис.22)? Нет. Эпюру (рис. 22) соответствуют в пространстве множество прямых (рис. 23). Следовательно, для профильной прямой недостаточно задания на эпюре фронтальной и горизонтальной проекций в виде неограниченных прямых.

Однако, стоит нам ограничить эту прямую отрезком АВ и обозначить его на эпюре (рис. 24), как оказывается заданной в пространстве вполне определенная прямая (рис. 25). Кроме задания профильной прямой двумя проекциями отрезка (рис. 24), можно задать профильную прямую a тремя проекциями луча или неограниченной прямой (рис. 26).

Рис. 25 Рис. 26

§ Горизонтально-проецирующая прямая или прямая двойного уровня – это прямая, перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций П₁ (рис. 27). При этом она параллельна одновременно двум оставшимся плоскостям проекций П₂ и П₃, и поэтому называется еще прямой двойного уровня. Горизонтальная ее проекция – точка, а фронтальная и профильная – вертикальные прямые (рис. 28). На фронтальную и профильную проекций она проецируется в натуральную величину.

Рис. 27 Рис. 28

§ Фронтально-проецирующая прямая или прямая двойного уровня это прямая, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций П₂ и одновременно параллельная плоскостям П₁ и П₃. Эпюр этой прямой приведен на рис. 29. Наглядное изображение ее предлагается построить студенту самому. На какие плоскости проекций она проецируется в натуральную величину?

Рис. 29 Рис. 30

§ Профильно-проецирующая прямая или прямая двойного уровня – это прямая, перпендикулярная к профильной плоскости проекций П₃ и параллельная П₁ и П₂. Эпюр ее приведен на рис. 30. Постройте ее наглядное изображение. На какие плоскости проекций она проецируется в натуральную величину?

§ Прямая общего положения – это прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций (рис. 14, 15). В этом случае проекции прямой располагаются под произвольными углами к оси Х (рис. 31 и 32).

Рис. 31

Рис. 32

На рис. 31 изображена нисходящая прямая. Эта прямая, которая понижается по мере удаления от наблюдателя. На рис. 32 – восходящая прямая, она повышается по мере удаления от наблюдателя. Сравним эпюры этих прямых. Замечаем, что у восходящей прямой проекции наклонены к линиям проекционной связи в одну и ту же сторону, а у нисходящей – в разные. Назовем этот признак ориентацией и скажем, что проекции восходящей прямой ориентированы одинаково, а нисходящей – противоположно.

Поскольку проекции прямой общего положения получаются искаженными (уменьшенными) в сравнении с натуральной длиной ее, то возникает вопрос определения натуральной величины (Н.В.) отрезка прямой общего положения и углов ее наклона к плоскости проекций.