Дисперсия дискретной случайной величины

Дисперсия (рассеяния) дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) = (x₁ - M(X))²p₁ + (x₂ - M(X))²p₂ + ... + (x_n- M(X))²p_n = x²₁p₁ + x²₂p₂ + ... + x²_np_n - [M(X)]²

Теорема.Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события q в одном испытании:

D(X) = npq

Свойства дисперсии.
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(С) = 0
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С² · D(Х)
3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

D(Х₁ ± Х₂ ± ... ± Х_n) = D(Х₁) + D(Х₂) + ... + D(Х_n)

Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:
σ(X) = √D(X)

Пример. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, n=10, p=0,6. Очевидно, вероятность не появления события q=1-0,6=0,4.

D(X) = npq = 10·0,6·0,4= 2,4.

Нормальное распределение

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности вероятности:

Нормальное распределение имеет плотность вероятности 1/[σ√2π]·e^-(x-a)2/2σ2, где a - математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение.

Значения плотности нормального распределения для конкретного числового значения x можно вычислить в Excel с помощью формулы =НОРМРАСП(x;a;σ;0). Если a = 0, σ = 1, то такое нормальное распределение называется стандартным. Значения плотности стандартного нормального распределения можно посмотреть в таблице или вычислить в Excel с помощью формулы =НОРМРАСП(x;0; 1;0)

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения равны:
As(X) = 0; Ex(X) = 0; Mo(X) = a; Me(X) = a, где а - математическое ожидание.

Интегральная функция нормального распределения вероятностей:

Интегральная функция распределения вероятностей показывает вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем x: F(x) = P(ξ < x).

Численно она равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью OX, на интервале от -∞ до x.

Равномерное распределение

Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.

Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е.
Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)
Из определения медианы следует, что Р(Х<Ме) = 0,5, т.е. F (Ме) = 0,5. Геометрически медиану можно истолковывать как абсциссу, в которой ордината φ(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Коэффициент вариации случайной величины - это относительная мера вариации.
V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%

Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) As(X) - величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания.

Коэффициент асимметрии дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
As(X) = [(x₁-M(X))³p₁ + (x₂-M(X))³p₂ + ... + (x_n-M(X))³p_n]/σ³
Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.

Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины (и дискретной, и непрерывной) Ex(X) - величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения, т.е. степень так называемого «выпада». Коэффициент эксцесса дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
Ex(X) = [(x₁-M(X))⁴p₁ + (x₂-M(X))⁴p₂ + ... + (x_n-M(X))⁴p_n]/σ⁴ - 3

Задача:

1.Составить закон распределения случайной дискретной величины X, которая может принимать 5 значений. Найти:
– её числовые характеристики

Решение

Закон распределения дискретной случайной величины X – это перечень всех возможных значений X , которые она может принимать, и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей должна равняться 1.
Проверка: 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1
Многоугольник распределения:

Математическое ожидание:
M(X) = -2·0,1 - 1·0,2 + 0·0,5 + 1·0,1 + 2·0,1 = -0,1
Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонений значений случайной величины X от её математического ожидания:
D(X) = (-2 + 0,1)²·0,1 + (- 1 + 0,1)²·0,2 + (0 + 0,1)²·0,5 + (1 + 0,1)²·0,1 + (2 + 0,1)²·0,1 = 1,09
или D(X) = (-2)²·0,1 + (-1)²·0,2 + 0²·0,5 + 1²·0,1 + 2²·0,1 - (-0,1)² = 1,1 - 0,01 = 1,09

Среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии:
σ = √1,09 ≈ 1,044
Коэффициент вариации V(X) = [1,044/0,1] · 100% = 1044%
Коэффициент асимметрии As(X) = [(-2 + 0,1)³·0,1 + (- 1 + 0,1)³·0,2 + (0 + 0,1)³·0,5 + (1 + 0,1)³·0,1 + (2 + 0,1)³·0,1]/1,044³ = 0,200353
Коэффициент эксцесса Ex(X)= [(-2 + 0,1)⁴·0,1 + (- 1 + 0,1)⁴·0,2 + (0 + 0,1)⁴·0,5 + (1 + 0,1)⁴·0,1 + (2 + 0,1)⁴·0,1]/1,044⁴ - 3 = 0,200353

Функция распределения – функция неубывающая. Она принимает значения в интервале от 0 до 1.

График функции распределения:

Задачи

1. Вероятность отказа детали за время испытания на надежность равна 0,2. Найти математическое ожидание числа отказавших деталей, если испытанию будут подвергнуты 10 деталей.

2. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

3. Дисперсия случайной величины D(X) = 6,25. Найти среднее квадратичное отклонение σ(X).

4. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности приборов таковы: р₁= 0,3; р₂₌ 0,4; р₃₌ 0,5; р₄= 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

5. Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распределения

Х 0,1 2 10 20

р 0,4 0,2 0,15 0,25

6.Случайная величина Х задана законом распределения

Х 2 3 10

р 0,1 0,4 0,5

Найти среднее квадратичное отклонение σ(X).

7. Случайная величина Х задана законом распределения

Х 2 4 8

р 0,1 0,5 0,4

Найти среднее квадратичное отклонение σ(X).