Тема 6. Статистичне вивчення закономірностей розподілу та варіації
Закономірність розподілу виявляється у співвідношенні варіант і частот ряду розподілу. Вона може бути охарактеризована за допомогою системи статистичних показників, до якої входять:
а) частотні характеристики – частоти та частки ряду розподілу. Додатковими характеристиками варіаційних рядів розподілу є кумулятивні (накопичені) частоти та частки, які характеризують обсяг сукупності із значеннями варіант, що не перевищують певного значення хі ;
б) характеристики центру розподілу – середнє значення ознаки, мода та медіана;
в) показники варіації;
г) характеристики форми розподілу.
Мода – це значення варіюючої ознаки, найбільш поширене в статистичній сукупності.У дискретному ряду модальне значення визначають безпосередньо за найбільшою частотою (часткою).
В інтервальному ряду за тим самим принципом визначається модальний інтервал, а в разі потреби конкретне модальне значення в межах цього інтервалу розраховується за формулою:
,
де х0 – нижня межа модального інтервалу;
h – крок модального інтервалу;
– частка модального інтервалу;
– частка інтервалу, попереднього перед модальним;
– частка інтервалу, наступного за модальним;
Медіана – значення варіюючої ознаки, яка припадає на середину впорядкованого ряду, поділяє його навпіл – на дві рівні за обсягом частини. Під час визначення медіани використовують кумулятивні частоти або частки.
У дискретному ряду розподілу медіанним буде значення ознаки, кумулятивна частота якого перевищує половину обсягу сукупності.
В інтервальному ряду розподілу за цим принципом визначають медіанний інтервал, а значення медіани в межах цього інтервалу обчислюють за формулою:
,
де х0 – нижня межа медіанного інтервалу;
h – крок медіанного інтервалу;
– обсяг сукупності;
– кумулятивна частка передмедіанного інтервалу;
– частка медіанного інтервалу.
Варіація – це зміна значень ознаки при переході від одного елемента статистичної сукупності до іншого.
Для вивчення варіації використовують систему статистичних показників, до якої входять:
1. Розмах варіації, який характеризує діапазон варіації ознаки в сукупності:
,
де 
– найбільше значення ознаки;
– найменше значення ознаки.
В інтервальних рядах розподілу розмах варіації визначається як різниця між верхньою межею останнього та нижньою межею першого інтервалу.
Перевагою цього показника є простота обчислення та ясність економічної інтерпретації. Головний недолік полягає в тому, що він визначається лише за двома граничними величинами, які часто є випадковими.
2. Середнє лінійне відхилення – середній модуль відхилень значень варіюючої ознаки від середнього її значення в сукупності:
- для незгрупованих даних: 
,
де х – індивідуальні значення ознаки;
– середнє значення ознаки;
п –обсяг сукупності.
- для згрупованих даних: 
,
де х – варіанти ряду розподілу;
– середнє значення ознаки;
f – частоти ряду розподілу.
Середнє лінійне відхилення показує, наскільки в середньому значення варіюючої ознаки відхиляються від її середнього значення.
3. Середнє квадратичне відхилення – показник варіації, що за своїм змістом аналогічний показнику середнього лінійного відхилення, а відрізняється методикою розрахунку:
- для незгрупованих даних: 
,
де х – індивідуальні значення ознаки;
– середнє значення ознаки;
п –обсяг сукупності.
- для згрупованих даних: 
де х – варіанти ряду розподілу;
– середнє значення ознаки;
f – частоти ряду розподілу.
Середнє квадратичне відхилення найчастіше використовується у статистичному аналізі, тому його називають стандартним відхиленням. Чим меншою є його величина, тим слабшою є варіація і більш однорідною – статистична сукупність.
Середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення є безпосередніми мірами варіації. Це іменовані числа, що мають одиниці виміру варіюючої ознаки. За змістом ці показники ідентичні, проте завдяки математичним властивостям 
> 
. Якщо обсяг сукупності досить великий і розподіл ознаки наближається до нормального, то = 1,25 .
4. Дисперсія – це середній квадрат відхилень значень ознаки від середнього її значення:
- для незгрупованих даних: 
,
де х – індивідуальні значення ознаки;
– середнє значення ознаки;
п –обсяг сукупності.
- для згрупованих даних: 
,
де х – варіанти ряду розподілу;
– середнє значення ознаки;
f – частоти ряду розподілу.
Дисперсія – величина неіменована.
Окрім наведених вище формул цей показник можна обчислювати методом різниці квадратів:
- для незгрупованих даних: 
;
- для згрупованих даних: 
.
Дисперсію альтернативної атрибутивної ознаки обчислюють як добуток часток:
,
де 
– частка елементів сукупності, яким властива ознака;
– частка решти елементів.
5. Коефіцієнт варіації – показник, що використовується для порівняння варіації однієї ознаки в різних сукупностях або різних ознак в одній сукупності та для оцінки однорідності статистичної сукупності.
.
Якщо значення коефіцієнта варіації перевищує 33 %, то сукупність є однорідною за досліджуваною ознакою.
1. За наведеними нижче даними про розподіл магазинів за кількістю робочих місць визначити моду та медіану.
| Кількість робочих місць ( ) | Кількість магазинів ( ) | Кумулятивні частоти ( ) |
| Разом | х |
_________, оскільки
Висновок: найбільш розповсюджене число робочих місць в обстеженій сукупності магазинів становить ________.
_________, оскільки
Висновок: половина обстежених магазинів мають число робочих місць не більше ніж _____
2. За наведеними нижче даними визначте модальний та медіанний розмір стажу роботи:
| Стаж роботи, років ( ) | Частка працівників, % ( ) | Кумулятивні частки, % ( ) |
| До 3 | ||
| 3–5 | ||
| 5–7 | ||
| 7–9 | ||
| 9 і більше | ||
| Разом | х |
Модальний інтервал - , оскільки
Конкретне значення моди в межах цього інтервалу визначити за формулою:
де
Висновок:
Медіанний інтервал - , оскільки
Конкретне значення медіани в межах цього інтервалу визначити за формулою:
де
Висновок:
3. Кредитні ставки комерційних банків під короткострокові позики становили:
| Кредитна ставка, % | Кількість виданих кредитів |
| до 18 | |
| 18 – 20 | |
| 20 – 22 | |
| 22 і більше |
Обчислити та прокоментувати показники варіації розміру кредитної ставки.
Необхідні обчислення виконати в таблиці:
| Кредитна ставка, % | Кількість виданих кредитів ( ) | Середина інтервалу ( ) | х f |  |  |  |  |
| А | 1 | 2 | 3 = гр.1*гр.2 | 4 | 5 | 6 = гр.5*гр.1 | 7 = гр.6*гр.5 |
| до 18 | |||||||
| 18 – 20 | |||||||
| 20 – 22 | |||||||
| 22 і більше | |||||||
| Разом | х |
1. Розмах варіації: 
де
Висновок: діапазон варіації кредитної ставки складає %.
Для обчислення наступних показників необхідно мати середнє значення ознаки. Оскільки дані умови – інтервальний ряд розподілу, то обчислити його слід за формулою середньої _____________________________ :
Середня кредитна ставка становить %.
2. Середнє лінійне відхилення: 
де
Висновок:кредитні ставки по окремих кредитах відхиляються від середньої кредитної ставки в середньому на %.
3. Середнє квадратичне відхилення: 
де
Висновок:кредитні ставки по окремих кредитах відхиляються від середньої кредитної ставки в середньому на %.
4. Дисперсія: 
де
5. Коефіцієнт варіації: 
де
Обчислене значення коефіцієнта варіації слід порівняти з 33 %.
Якщо воно не перевищує 33 %, то обстежена сукупність є однорідною за досліджуваною ознакою; якщо перевищує – неоднорідною.
Висновок:Оскільки значення коефіцієнта варіації ____________________ 33 %, то обстежена сукупність кредитів є ________________ за розміром кредитної ставки.
4. За даними попередньої задачі обчислити дисперсію методом різниці квадратів.
Необхідні обчислення виконати в таблиці:
| Кредитна ставка, % | Кількість виданих кредитів ( ) | Середина інтервалу ( ) | х f |  |  |
| А | 1 | 2 | 3 = гр.1*гр.2 | 4 = гр.2*гр.2 | 5 = гр.4*гр.1 |
| до 18 | |||||
| 18 – 20 | |||||
| 20 – 22 | |||||
| 22 і більше | |||||
| Разом | х |
5. За даними задачі № 3 обчислити дисперсію частки кредитів, ставка по яких не перевищує 20 %.
6. За даними про розподіл робітників підприємства за рівнем виконання норм виробітку обчислити та прокоментувати показники варіації виконання норм:
| Виконання норм виробітку ,% | Кількість робітників, чол. |
| до 100 | |
| 100–110 | |
| 110–120 | |
| 120–130 | |
| 130 і більше |
Розв’язок аналогічний розв’язку задачі № 3.
Необхідні обчислення виконати в таблиці:
| Виконання норм виробітку, % | Кількість робітників, чол. ( ) | ( ) | |||||
| А | |||||||
| до 100 | |||||||
| 100–110 | |||||||
| 110–120 | |||||||
| 120–130 | |||||||
| 130 і більше | |||||||
| Разом |
1. Розмах варіації:
Висновок:
Середнє значення ознаки:
Середнє ______________________________________________ становить ______ %.
2. Середнє лінійне відхилення:
Висновок:
3. Середнє квадратичне відхилення:
Висновок:
4. Дисперсія:
5. Коефіцієнт варіації:
Висновок:
7. На основі даних задачі № 2 теми 3 „Зведення і групування” обчислити дисперсію продуктивності праці за формулою для незгрупованих даних та методом різниці квадратів.
Середнє значення продуктивності праці по всій сукупності робітників ( 
) взяти з задачі № 2 теми 3.
Розрахунки виконати в таблиці:
| № робітника | Продуктивність праці, деталей за зміну ( у ) |  |  |  |
| Разом |
= _________ ( деталей за зміну )
8. За даними про розподіл робітників підприємства за рівнем виконання норм виробітку обчислити дисперсію норм виробітку методом різниці квадратів:
| Виконання норм виробітку ,% | Кількість робітників, чол. |
| до 100 | |
| 100–110 | |
| 110–120 | |
| 120–130 | |
| 130 і більше |
Необхідні обчислення виконати в таблиці:
| Виконання норм виробітку, % | Кількість робітників, чол. ( ) | Середина інтервалу ( ) | х f | х2 | х2 f |
| А | 1 | 2 | 3 = гр.1 * гр.2 | 4 = гр.2 * гр.2 | 5 = гр.4 * гр.1 |
| до 100 | |||||
| 100–110 | |||||
| 110–120 | |||||
| 120–130 | |||||
| 130 і більше | |||||
| Разом | х |
9. Обчислити середній розмір заробітної плати, якщо коефіцієнт варіації її розміру становить 6 %, а дисперсія заробітної плати – 14 400.
10. Оцінити однорідність сукупності працівників підприємства за розміром заробітної плати, якщо середня заробітна плата становить 983 грн, а дисперсія заробітної плати – 121.
Тема 7. Ряди динаміки
Динамічний ряд – це послідовність значень показника, який характеризує зміну того чи іншого соціально-економічного явища в часі. Будь-який динамічний ряд містить перелік хронологічних дат (моментів) або інтервалів часу і конкретні значення відповідних статистичних показників, які називаються рівнями ряду.
Залежно від статистичної природи показника-рівня розрізняють динамічні ряди первинні й похідні, ряди абсолютних, середніх і відносних величин.
За ознакою часу динамічні ряди поділяються на інтервальні та моментні.
Рівень моментного ряду фіксує стан явища на певний момент часу t, наприклад кількість працюючих на початок року, студентів — на 1-ше вересня і т. д.
В інтервальному ряду рівень є агрегований результат процесу й залежить від тривалості часового інтервалу: виробництво електроенергії за рік, вилов риби за сезон.
Порядок обчислення середнього рівня динамічного ряду залежить від виду динамічного ряду за ознакою часу.
Якщо динамічний ряд інтервальний, то його середній рівень обчислюють за формулою середньої арифметичної простої:
,
де 
– рівні динамічного ряду;
n – кількість рівнів динамічного ряду.
Якщо динамічний ряд моментний з однаковими проміжками часу між суміжними датами, то його середній рівень обчислюють за формулою середньої хронологічної:
,
де – рівні динамічного ряду;
n – кількість рівнів динамічного ряду.
Якщо динамічний ряд моментний з різними проміжками часу між суміжними датами, то його середній рівень обчислюють за формулою середньої арифметичної зваженої:
,
де у – рівні динамічного ряду;
t – тривалість проміжків часу між суміжними рівнями ряду.
Напрям та інтенсивність змін в динаміці описуються за допомогою системи статистичних характеристик, до якої входять:
- абсолютний приріст;
- темп зростання;
- темп приросту;
- абсолютне значення одного відсотка приросту.
Їх розрахунок ґрунтується на порівнянні рівнів ряду. За порівняння база порівняння може бути постійною чи змінною. За постійну базу вибирається початковий рівень ряду. Характеристики динаміки, обчислені відносно постійної бази, називаються базисними.
Якщо кожний рівень ряду уt порівнюється з попереднім уt-1, характеристики динаміки називаються ланцюговими.
Формули характеристик інтенсивності динаміки наведено в таблиці:
| Ланцюгові характеристики | Назва характеристики | Базисні характеристики |
 | Абсолютний приріст |  |
 | Темп зростання |  |
 | Темп приросту* |  |
 | Абсолютне значення одного відсотка приросту |  |
___________________
* у ході обчислення ланцюгового темпу приросту використовують ланцюговий темп зростання; базисного – базисний темп зростання.
де 
– перший рівень динамічного ряду;
– t - тий рівень динамічного ряду;
– попередній рівень динамічного ряду.
Абсолютний приріст 
характеризує абсолютний розмір збільшення (чи зменшення) рівня ряду уt за певний часовий інтервал.
Знак абсолютного приросту «+» чи «-» свідчить про напрям динаміки.