Площадь поверхности цилиндра, конуса, шара.

Тема 15. Тела вращения

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении какой-либо плоской фигуры, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

При вращении точки контура (кроме тех которые лежат на оси вращения) описывают окружность.

Поэтому запишем некоторые характеристики окружности.

Окружность - замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра) , лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Круг - часть плоскости, лежащая внутри окружности.

Диаметр окружности – Длина окружности -

Радиус окружности –

Диаметр содержит два радиуса или

Установлено, что какой бы ни была окружность, отношение длины окружности к её диаметру есть число постоянное. Это число

Формулы окружности и круга:

Длина окружности: или

Площадь круга: или

Основные тела вращения

Цилиндр. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.   – образующая цилиндра; - высота цилиндра; – радиус основания;     Конус. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.   – образующая конуса; - высота конуса; – радиус основания;     Шар (сфера). Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения полукруга вокруг диаметра разреза.   – диаметр шара; – радиус шара;

Площадь поверхности цилиндра, конуса, шара.

Тело вращения и его развёртка	Площадь поверхности	Объём
Цилиндр	Площадь боковой поверхности цилиндра Площадь полной поверхности цилиндра	Объём цилиндра
Конус	Длина длины развёртки Площадь боковой поверхности конуса Площадь полной поверхности конуса	Объём конуса
Шар (сфера)	Площадь поверхности шара (сферы)	Объём шара

Примеры решения задач «Площадь поверхности и объём тел вращения»

Задача 1. Прямоугольник с основанием 5 см и высотой 10 см вращается вокруг большей стороны. Выполнить рисунок тела вращения, соблюдая пропорции. Найти площадь его поверхности и объём.

Дано: тело вращения – цилиндр; Найти: Решение: 1) 2) Ответ: ; .

Задача 2. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 см, гипотенузой 5 см вращается вокруг большего катета. Выполнить рисунок тела вращения, найти площадь его поверхности и объём.

Дано: тело вращения – конус; Найти: Решение: 1) 2) Ответ: ; .

Задача 3. Полуокружность вращается вокруг собственного диаметра 4 см в вертикальной плоскости. Выполнить рисунок тела вращения, найти площадь его поверхности и объём.

Дано: тело вращения – шар; Найти: Решение: 1) 2) Ответ: ; .

Контрольное задание №15 по теме

«Площадь поверхности и объём тел вращения»

1) Прямоугольник со сторонами 1 и 3 см вращается вокруг меньшей стороны. Выполнить рисунок тела вращения. Найти площадь его поверхности и объём.

2) Прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12 см, гипотенузой 15 см вращается вокруг меньшего катета. Выполнить рисунок тела вращения, найти площадь его поверхности и объём.

3) Полуокружность вращается вокруг собственного диаметра 14 см в горизонтальной плоскости. Выполнить рисунок тела вращения, найти площадь его поверхности и объём.