Дисперсія і середнє квадратичне відхилення

Для характеристики випадкової величини недостатньо знати лише її математичне сподівання, так як одному і тому ж математичному сподіванню може відповідати нескінченна множина випадкових величин з різними законами розподілу.

Значення випадкових величин завжди коливається біля середнього значення. Це явище називається розсіюванням величини біля її середнього значення.

Основними характеристиками розсіювання випадкової величини є середнє квадратичне відхилення.

Означення. Дисперсією D[X] випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення цієї величини від її математичного сподівання:

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення - student2.ru .

Для дискретної випадкової величини дисперсія виражається сумою:

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення - student2.ru (1)

а неперервної – інтегралом:

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення - student2.ru (2)

Дисперсія випадкової величини є зручною характеристикою розсіювання, але вона має той недолік, що має розмірність квадрату випадкової величини.

Для більшої зручності вводиться характеристика, що має розмірність випадкової величини, а саме – корінь квадратний з дисперсії:

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення - student2.ru , (3)

і її називають середнім квадратичним відхиленням, або стандартом.

Зауваження. Якщо брати математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, то отримуємо завжди:

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення - student2.ru .

Цей результат є цілком природним, він показує, що випадкова величина відхиляється від свого математичного сподівання як вправо, так і вліво, а тому додатні та від’ємні значення знищуються і він ніякої характеристики розсіювання не дає.

Найпростіші властивості дисперсії:

Властивість 1. Дисперсія будь-якої випадкової величини невід’ємна.

Доведення безпосередньо випливає з означення дисперсії, так як Дисперсія і середнє квадратичне відхилення - student2.ru .

Властивість 2. Дисперсія постійної величини рівна нулю: D(C)=0.

Доведення. Дійсно

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення - student2.ru

Властивість 3. Дисперсія добутку сталої величини на випадкову величину рівна добутку квадрату постійної величини на дисперсію випадкової величини:

D(CX)=C2D(X).

Властивість 4. Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрату цієї величини і квадратом її математичного сподівання:

D(X)=M(X)2-M2D(X) (4)

Доведення. Дійсно

M(X-M(X))2=M(X2-2M(X)X+M2(X))=M(X2)-2M(X)M(X)+M(M2(X))=

=M(X2)-2M2(X)+M2(X)=M(X2)-M2(X).

Властивість 5. Дисперсія об’єднання двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсії:

D(XÈY)=D(X)+D(Y) (5)

Доведення. Дійсно D(XÈY)=M(XÈY)2-M2(XÈY)=M(X2È2XYÈY2)-

-(M(X)+M(Y))2=M(X2)+2M(X)M(Y)+M(Y2)+M(Y2)-M2(X)-2M(X)M(Y)-

-M2(Y)=(M(X2)-M2(X))+M(Y2)-M2(Y)=D(X)+D(Y).

Наслідок 1. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин рівна сумі їх дисперсій.

Наслідок 2. Дисперсія суми скінченного числа незалежних випадкових величин рівна сумі їх дисперсій.

Наведемо теореми про математичне сподівання і дисперсію деяких дискретних випадкових величин.

Теорема 1. Якщо Х1 Х2…Хn – однаково розподілені випадкові величини, математичні сподівання кожної з яких рівне а, то математичне сподівання їх об’єднання рівне n a, а математичне сподівання середньої арифметичної рівне а.

Теорема 2. Якщо Х1 Х2…Хn – однаково розподілені випадкові величини, дисперсія кожної з яких рівна s2х, то дисперсія їх об’єднання рівна ns2х, а дисперсія середньої арифметичної рівна Дисперсія і середнє квадратичне відхилення - student2.ru .

Наши рекомендации