Перетворення Гільберта від гармонічних сигналів

Припустимо, що деякий довільний сигнал заданий за допомогою перетворення Фур’є :

(10)

На основі (6) знаходимо аналогічне представлення спряженого сигналу:

Порівняння останнього результату з (10) приводить до наступних законів перетворень Гільберта:

Перетворення Гільберта від вузькосмугового сигнала

Припустимо, що вузькосмуговий сигнал заданий за допомогою синфазної та квадратурної амплітуд, що відповідають деякій довільно вибраній опорній частоті:

(11)

Вивчимо властивості сигналу, який є спряженим у відношенні до . Для цього підставимо вираз (11) у формулу (7), розклавши функції та , які повільно змінюються, у ряд Тейлора відносно точки :

Прийнявши до уваги те, що похідні , , , і т. д. є малими, обмежимось урахуванням лише перших членів цих розкладань.

Тоді наближено:

(12)

Отже, спряжений сигнал у даному випадку також є вузькосмуговим.

Остання рівність означає, що, якщо комплексна обвідна початкового сигналу

,

то для спряженого сигналу

.

Комплексна обвідна спряженого сигналу відрізняється від комплексної обвідної початкового коливання лише наявністю постійного фазового зсуву на у бік затримки.

Обвідна, повна фаза та миттєва частота

В рамках методу перетворення Гільберта обвідна довільного сигналу визначається як функція, що описує зміну у часі модуля аналітичного сигналу

. (13)

Доцільність такого визначення може бути перевірена на прикладі обвідної вузькосмугового сигналу. Тут на основі (11) і (12) обвідна

.

Повна фаза будь-якого сигналу за визначенням дорівнює аргументу аналітичного сигналу :

. (14)

Нарешті, миттєва частота сигналу є похідною від повної фази за часом

(15)

Енергетичні спектри сигналів

Скалярний добуток сигналів та визначається таким чином:

.

Якщо сигнали однакові, , то скалярний добуток переходить в енергію сигналу

.

Зв’язок між скалярним добутком сигналів та їх спектральними щільностями можна встановити за допомогою узагальненої формули Релея.

Узагальнена формула Релея

Припустимо, що розглянуті вище сигнали та , які входять до формули (1), задані своїми спектральними щільностями:

,

. (16)

Якщо розглянуті сигнали описуються дійсними функціями часу, тоді

(17)

Одержане співвідношення називають узагальненою формулою Релея. Трактування цією формули таке: скалярний добуток двох сигналів пропорційний скалярному добутку спектральних щільностей.

Дійсна функція

, (18)

дозволяє виразити скалярний добуток сигналів та таким чином:

. (19)

Функцію називають взаємним енергетичним спектром сигналів та . Формула (19) розкриває “тонку структуру” зв’язку двох сигналів. У формуванні взаємної енергії сигналів різні ділянки їх спектра грають неоднакову роль: найбільший вклад забезпечують ті частотні ділянки, в яких спектри сигналів перекриваються.

Узагальнена формула Релея, представлена у вигляді (19), дозволяє знайти шлях зменшення міри зв’язку між сигналами, досягаючи в граничному варіанті їх ортогональності. Для цього один з розглянутих сигналів треба перетворити в особливій фізичній системі, яка не пропускає на вихід ті спектральні компоненти сигналів, що знаходяться в межах частотного інтервалу, де взаємний енергетичний спектр найбільший.