За­да­ние 16 № 338788. Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 150 км/ч, про­ез­жа­ет мимо стол­ба за 6 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

Ре­ше­ние.

Длина по­ез­да будет равна его ско­ро­сти, умно­жен­ной на время дви­же­ния мимо стол­ба:

За­да­ние 22 № 338847. Игорь и Паша кра­сят забор за 20 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 24 часа, а Во­ло­дя и Игорь — за 30 часов. За сколь­ко часов маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втроём?

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим вы­пол­ня­е­мую маль­чи­ка­ми ра­бо­ту по по­крас­ке за­бо­ра за 1. Пусть за , , часов Игорь, Паша и Во­ло­дя, со­от­вет­ствен­но, по­кра­сят забор, ра­бо­тая са­мо­сто­я­тель­но. Игорь и Паша кра­сят забор за 20 часов:

Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 24 часа:

,

а Во­ло­дя и Игорь — за 30 часов:

По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Про­сум­ми­ру­ем левые и пра­вые части дан­ных трех урав­не­ний, по­лу­чим:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За один час Игорь и Паша кра­сят 1/20 за­бо­ра, Паша и Во­ло­дя кра­сят 1/24 за­бо­ра, а Во­ло­дя и Игорь — за 1/30 за­бо­ра. Ра­бо­тая вме­сте, за один час два Игоря, Паши и Во­ло­ди по­кра­си­ли бы:

за­бо­ра.

Тем самым, они могли бы по­кра­сить один забор за 8 часов. По­сколь­ку каж­дый из маль­чи­ков был учтен два раза, в ре­аль­но­сти Игорь, Паша и Во­ло­дя могут по­кра­сить забор за 16 часов.

За­да­ние 22 № 338854. Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 75 км/ч, про­ез­жа­ет мимо пе­ше­хо­да, иду­ще­го па­рал­лель­но путям со ско­ро­стью 3 км/ч нав­стре­чу по­ез­ду, за 30 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

Ре­ше­ние.

Длина по­ез­да будет равна сумме ско­ро­стей по­ез­да и пе­ше­хо­да, умно­жен­ной на время дви­же­ния по­ез­да мимо пе­ше­хо­да:

За­да­ние 22 № 338867. Из двух го­ро­дов од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу от­пра­ви­лись два ве­ло­си­пе­ди­ста. Про­ехав не­ко­то­рую часть пути, пер­вый ве­ло­си­пе­дист сде­лал оста­нов­ку на 36 минут, а затем про­дол­жил дви­же­ние до встре­чи со вто­рым ве­ло­си­пе­ди­стом. Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми со­став­ля­ет 82 км, ско­рость пер­во­го ве­ло­си­пе­ди­ста равна 28 км/ч, ско­рость вто­ро­го — 10 км/ч. Опре­де­ли­те рас­сто­я­ние от го­ро­да, из ко­то­ро­го вы­ехал вто­рой ве­ло­си­пе­дист, до места встре­чи.

Ре­ше­ние.

Пусть км — рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­ехал пер­вый ве­ло­си­пе­дист до места встре­чи, тогда км — рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­ехал вто­рой ве­ло­си­пе­дист до места встре­чи. К мо­мен­ту встре­чи пер­вый ве­ло­си­пе­дист на­хо­дил­ся в пути часов, а вто­рой — часов. Эти ве­ли­чи­ны равны, со­ста­вим урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, вто­рой ве­ло­си­пе­дист про­ехал 82 − 56 = 26 км до места встре­чи.

За­да­ние 22 № 338893. Мо­тор­ная лодка про­шла про­тив те­че­ния реки 77 км и вер­ну­лась в пункт от­прав­ле­ния, за­тра­тив на об­рат­ный путь на 2 часа мень­ше, чем на путь про­тив те­че­ния. Най­ди­те ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость лодки в не­по­движ­ной воде, тогда км/ч — ско­рость лодки про­тив те­че­ния реки, а км/ч — ско­рость лодки по те­че­нию. Лодка за­тра­ти­ла на путь по те­че­нию реки на 2 часа мень­ше, чем по те­че­нию, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень −18 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость мо­тор­ной лодки в сто­я­чей воде равна 18 км/ч.

За­да­ние 22 № 338904. Два бе­гу­на од­но­вре­мен­но стар­то­ва­ли в одном на­прав­ле­нии из од­но­го и того же места кру­го­вой трас­сы в беге на не­сколь­ко кру­гов. Спу­стя один час, когда од­но­му из них оста­ва­лось 1 км до окон­ча­ния пер­во­го круга, ему со­об­щи­ли, что вто­рой бегун прошёл пер­вый круг 20 минут назад. Най­ди­те ско­рость пер­во­го бе­гу­на, если из­вест­но, что она на 8 км/ч мень­ше ско­ро­сти вто­ро­го.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го бе­гу­на, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го бе­гу­на. Из усло­вия из­вест­но, что вто­рой бегун про­бе­жал круг за часа, при этом через час после стар­та пер­во­му бе­гу­ну оста­вал­ся 1 км до окон­ча­ния пер­во­го круга, со­ста­вим урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, ско­рость пер­во­го бе­гу­на равна 13 км/ч.

За­да­ние 22 № 338945. Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми А и В равно 120 км. Из го­ро­да А в город В вы­ехал ав­то­мо­биль, а через 90 минут сле­дом за ним со ско­ро­стью 100 км/ч вы­ехал мо­то­цик­лист. Мо­то­цик­лист до­гнал ав­то­мо­биль в го­ро­де С и по­вер­нул об­рат­но. Когда он про­ехал по­ло­ви­ну пути из С в А, ав­то­мо­биль при­был в В. Най­ди­те рас­сто­я­ние от А до С.

Ре­ше­ние.

Пусть — со­от­вет­ствен­но ско­ро­сти ав­то­мо­би­ли­ста и мо­то­цик­ли­ста, — рас­сто­я­ние со­от­вет­ствен­но между пунк­та­ми и и между пунк­та­ми и — время за ко­то­рое мо­то­цик­лист до­го­нит ав­то­мо­би­ли­ста, — время, за ко­то­рое ав­то­мо­би­лист до­едет из пунк­та C и пункт B — время, через ко­то­рое мо­то­цик­лист вы­ез­жа­ет за ав­то­мо­би­лем. Ав­то­мо­би­лист до­едет до пунк­та за время зна­чит, он про­едет рас­сто­я­ние До пунк­та B он доберётся за время Мо­то­цик­лист пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние a за время а по­ло­ви­ну рас­сто­я­ния от А до С за время По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Из пер­во­го и четвёртого урав­не­ний: Из пер­во­го урав­не­ния: Из тре­тье­го урав­не­ния: Под­став­ляя по­лу­чен­ные со­от­но­ше­ния во вто­рое урав­не­ние, по­лу­ча­ем:

По усло­вию за­да­чи под­хо­дит толь­ко по­ло­жи­тель­ный ко­рень, сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние между пунк­та­ми A и С равно 100 км.

За­да­ние 22 № 338952. Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 81 км/ч, про­ез­жа­ет мимо пе­ше­хо­да, иду­ще­го в том же на­прав­ле­нии па­рал­лель­но путям со ско­ро­стью 3 км/ч, за 30 се­кунд. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

Ре­ше­ние.

Длина по­ез­да будет равна раз­но­сти ско­ро­стей по­ез­да и пе­ше­хо­да, умно­жен­ной на время дви­же­ния по­ез­да мимо пе­ше­хо­да:

За­да­ние 22 № 338961. Первую по­ло­ви­ну трас­сы ав­то­мо­биль про­ехал со ско­ро­стью 55 км/ч, а вто­рую — со ско­ро­стью 70 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

Ре­ше­ние.

Сред­няя ско­рость — это от­но­ше­ние прой­ден­но­го пути к вре­ме­ни дви­же­ния. Пусть весь путь со­став­ля­ет км, тогда первую по­ло­ви­ну пути ав­то­мо­биль про­ехал за часов, а вто­рую — за часов. Сред­няя ско­рость ав­то­мо­би­ля равна:

За­да­ние 22 № 338967. От при­ста­ни А к при­ста­ни В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 70 км, от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 1 час после этого сле­дом за ним, со ско­ро­стью, на 8 км/ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го теп­ло­хо­да. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми 70 км, вто­рой теп­ло­ход от­пра­вил­ся в путь через час после вы­хо­да пер­во­го, причём в ко­неч­ный пункт оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень −28 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да равна 20 км/ч.

За­да­ние 22 № 338972. Два ав­то­мо­би­ля од­но­вре­мен­но от­прав­ля­ют­ся в 240-ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый едет со ско­ро­стью, на 20 км/ч боль­шей, чем вто­рой, и при­бы­ва­ет к фи­ни­шу на 1 ч рань­ше вто­ро­го. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля. Пер­вый ав­то­мо­биль при­был к фи­ни­шу на 1 час быст­рее вто­ро­го, от­ку­да:

Ко­рень −60 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля равна 80 км/ч.

За­да­ние 22 № 338992. Ве­ло­си­пе­дист вы­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из го­ро­да А в город В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 60 км. От­дох­нув, он от­пра­вил­ся об­рат­но в А, уве­ли­чив ско­рость на 10 км/ч. По пути он сде­лал оста­нов­ку на 3 часа, в ре­зуль­та­те чего за­тра­тил на об­рат­ный путь столь­ко же вре­ме­ни, сколь­ко на путь из А в В. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В, тогда км/ч — ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста из В в А. На путь туда и об­рат­но ве­ло­си­пе­лист за­тра­тил оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство вре­ме­ни, при этом, сде­лав оста­нов­ку на 3 часа по пути из В в А, от­ку­да:

Ко­рень −20 не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи, сле­до­ва­тель­но, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста на пути из А в В равна 10 км/ч.

За­да­ние 22 № 338995. Из пунк­та А в пункт В, рас­по­ло­жен­ный ниже по те­че­нию реки, от­пра­вил­ся плот. Од­но­вре­мен­но нав­стре­чу ему из пунк­та В вышел катер. Встре­тив плот, катер сразу по­вер­нул и по­плыл назад. Какую часть пути от А до В прой­дет плот к мо­мен­ту воз­вра­ще­ния ка­те­ра в пункт В, если ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде вчет­ве­ро боль­ше ско­ро­сти те­че­ния реки?

Ре­ше­ние.

Пусть — ско­рость реки, тогда — ско­рость ка­те­ра в сто­я­чей воде, — рас­сто­я­ние от А до места встре­чи, — рас­сто­я­ние, ко­то­рое пройдёт плот от места встре­чи до мо­мен­та воз­вра­ще­ния ка­те­ра в В. При­мем рас­сто­я­ние между А и В за еди­ни­цу. К месту встре­чи плот и катер при­бы­ли од­но­вре­мен­но, от­ку­да За то время, пока катер пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние плот пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние от­ку­да По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Плот за всё время дви­же­ния прошёл рас­сто­я­ние По­сколь­ку всё рас­сто­я­ние между А и В мы при­ня­ли рав­ным еди­ни­це, плот пройдёт 0,4 пути из А в В к мо­мен­ту воз­вра­ще­ния ка­те­ра в пункт В.

За­да­ние 22 № 338998. По двум па­рал­лель­ным же­лез­но­до­рож­ным путям в одном на­прав­ле­нии сле­ду­ют пас­са­жир­ский и то­вар­ный по­ез­да, ско­ро­сти ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но 50 км/ч и 40 км/ч. Длина то­вар­но­го по­ез­да равна 1350 мет­рам. Най­ди­те длину пас­са­жир­ско­го по­ез­да, если время, за ко­то­рое он прошёл мимо то­вар­но­го по­ез­да, равно 9 ми­ну­там.

Ре­ше­ние.

Пас­са­жир­ский поезд дви­жет­ся от­но­си­тель­но то­вар­но­го со ско­ро­стью 50 − 40 = 10 км/ч. Про­е­за­жая мимо то­вар­но­го по­ез­да пас­са­жир­ский про­ез­жа­ет от­но­си­тель­но­го него Сле­до­ва­тель­но, длин пас­са­жир­ско­го по­ез­да со­став­ля­ет 1500 − 1350 = 150 м.

За­да­ние 22 № 339049. До­ро­га между пунк­та­ми A и В со­сто­ит из подъёма и спус­ка, а её длина равна 14 км. Ту­рист прошёл путь из А в В за 4 часа, из ко­то­рых спуск занял 2 часа. С какой ско­ро­стью ту­рист шёл на спус­ке, если его ско­рость на подъёме мень­ше его ско­ро­сти на спус­ке на 3 км/ч?

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость, с ко­то­рой ту­рист спус­кал­ся, равна х км/час, тогда его ско­рость на подъёме равна х − 3 км/ч, длина спус­ка равна 2х км, длина подъёма равна 2(х − 3) км. По­сколь­ку весь путь равен 14 км, имеем: 2х + 2(х − 3) = 14, от­ку­да х = 5 км/ч.