Задание 23 № 338408. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
Упростим выражение:
График исходной функции сводится к графику параболы с выколотой точкой Этот график изображён на рисунке:
Чтобы прямая имела с построенным графиком одну общую точку, нужно чтобы
или прямая была касательной к графику (и точка касания не равна 1),
или прямая пересекает график в точке и в какой-то второй точке.
Случай касания реализуется когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю.
При этом если , точка касания , а если , точка касания .
Для рассмотрения второго случая подставим в уравнение .
получим . При этом дискриминант этого уравнения будет больше нуля, значит еще одно решение точно есть.
Ответ: -3,25; -3; 3.
Задание 23 № 338420. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая не имеет с графиком ни одной общей точки.
Решение.
Раскрывая модуль и упрощая, получим, что функцию можно представить следующим образом:
При этом на графике функции нужно выколоть точку поскольку при упрощении мы сокращали выражение стоящее в знаменателе.
Этот график изображён на рисунке:
Из графика видно, что прямая не имеет с графиком функции ни одной общей точки при
Ответ: −9.
Задание 23 № 338455. Постройте график функции Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение.
График данной функции — это график параболы отрицательная часть которого отражена относительно оси Этот график изображён на рисунке:
Прямая, параллельная оси абсцисс задаётся формулой где — постоянная. Из графика видно, что прямая может иметь с графиком функции не более четырёх общих точек.
Ответ: 4.
Задание 23 № 341230. Постройте график функции и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком три общие точки.
Решение.
Имеем:
Для построения искомого графика построим график функции на промежутке и график функции на промежутке
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, вершина имеет координаты Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, вершина имеет координаты График данной функции изображен на рисунке. Прямая y = m имеет с построенным графиком ровно три общие точки при m = 0 и при m = −2,25.
Ответ: −2,25; 0.
Задание 4 № 320541. На рисунке изображены графики функций и Вычислите координаты точки B.
Запишите координаты в ответе через точку с запятой.
Решение.
Точки A и B — точки пересечения графиков функций и Найдём их абсциссы:
Абсцисса точки B больше нуля, следовательно, это Найдём ординату точки B:
Ответ: 3; −6.
Задание 23 № 314799. Постройте график функции и определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
Упростим выражение для функции:
(при ).
Таким образом, получили, что график нашей функции сводится к графику функции с выколотой точкой
Построим график функции (см. рисунок).
Заметим, что прямая проходит через начало координат и будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку только тогда, когда будет проходить через выколотую точку Подставим координаты этой точки в уравнение прямой и найдём коэффициент
Ответ: −0,25.
Задание 23 № 314398. Парабола проходит через точки K(0; –5), L(3; 10), M( –3; –2). Найдите координаты её вершины.
Решение.
Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: Координата вершины параболы находится по формуле Координату вершины параболы найдётся подстановкой в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов и Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы и получим систему из трёх уравнений:
Найдём координаты вершины:
Ответ: (−1; −6).