Доведіть, що через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини.Варіант 12
Варіант 1
1. Скільки площин можна провести через точки А, В, С? (мал. 1)
А) одну; Б) дві;
В) безліч; Г) не можна визначити.
2.Укажіть геометричну фігуру, якою може бути проекція ромба при паралельному проектуванні.
А) трапецією; Б) трикутником; В) точкою; Г) відрізком.
3.На малюнку КО α, ОВ а. Порівняйте довжини відрізків КА і КВ (мал. 2)
А) КА<КВ; Б) КА=КВ;
В) КА>КВ; Г) не можна визначити.
4.Точка М належить площині грані АВСD прямокутного паралелепіпеда АВСDA1B1C1D1 (мал. 3). Знайдіть кут між прямими A1D1 і СМ, якщо кут ВСМ дорівнює 140º.
А) 40º; Б) 50º;
В) 90º; Г) 140º.
5.Ортогональною проекцією многокутника площею S є многокутник площею S1 = . Яке з чисел не може бути значенням параметра S?
А) 6; Б) 5; В) ; Г) 29.
6. Бісектриса одного з кутів паралелограма точкою перетину ділить сторону на два рівних відрізки довжиною 15 см. Знайдіть периметр паралелограма.
7. Побудуйте переріз піраміди SABC площиною, що проходить через точки M, K, P, що належать ребрам SA, SB, AC відповідно.
8. Дано трикутник АВС, в якому АВ = 9 см, ВС = 12 см, АС = 15 см. На стороні АВ взято точку М так, що АМ : МВ = 2 : 1. Через точку М проведено площину, яка паралельна стороні АС і перетинає сторону ВС в точці К. Знайдіть площу трикутника МВК.
Варіант 2
1. Скільки площин можна провести через точки А, В, С (мал. 1)?
А) одну; Б) дві;
В) безліч; Г) не можна визначити.
2. Укажіть геометричну фігуру, якою не може бути проекція кола при паралельному проектуванні.
А) відрізком; Б) точкою; В) еліпсом; Г) колом.
3. На мал. 2 АВ - дотична до кола з центром у точці О, точка В - точка дотику, ОС (АОВ), довжина відрізка ОС дорівнює радіусу кола. Знайдіть кут між площинами АВС і АОВ.
А) 90º; Б) 60º;
В) 45º; Г)30º.
4. Площа трикутника дорівнює 24 см2 , а його ортогональної проекції - см2. Знайдіть кут між площиною проекції та площиною даного трикутника.
А) 60º; Б) 30º; В) 90º; Г) 45º.
5.Відрізок NB - перпендикуляр до площини правильного трикутника АВС, М - середина сторони АС (мал. 3). Укажіть кут між площинами АNС і АВС.
А) NBM; Б) NAB;
В) NCB; Г) NMB.
6. Довжина кола, вписаного у рівнобічну трапецію, дорівнює 12π см. Обчисліть площу трапеції, якщо різниця основ цієї трапеції дорівнює 10 см.
7. Через вершину В рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС) до площини трикутника проведено перпендикуляр BD довжиною 5 см. Знайдіть відстань від точки D до сторони АС, якщо АС = 8 см, АВ = 6 см.
8.Доведіть, що коли площина перетинає площину трапеції по прямій, яка містить її середню лінію, то вона паралельна основам трапеції.
Варіант 3
1. Скільки спільних точок має площина α і площина, яка проходить через точку А і пряму (мал. 1)?
А) одну; Б) дві;
В) безліч; Г) три.
2. Якою фігурою може бути паралельна проекція квадрата на площину?
А) трикутником; Б) трапецією;
В) паралелограмом; Г) точкою.
3. На мал.2 КО α, ОВ а. Порівняйте довжини відрізків КА і КС.
А) КА < КС; Б) КА = КС;
В) КА > КС; Г) не можна визначити.
4.На мал.3 зображено правильну чотирикутну піраміду SABCD. SO - висота. Якою є градусна міра кута між площинами SOA і SOD?
А) 45°; Б) 30°;
В) 60°; Г) 90°.
5.Ортогональною проекцією многокутника площею S = є многокутник площею S1. Яке з чисел не може бути значенням параметра S1?
А) 3; Б) 5; В) 7; Г) 9.
6. Катет прямокутного трикутника дорівнює 30 см, а гіпотенуза відноситься до другого катета як 17 : 8. Знайдіть сторони трикутника.
7. Побудуйте переріз прямої призми ABCDA1B1C1D1 площиною, що проходить через вершини С, D1 та точку F на ребрі АА1.
8. Дано трикутник АВС, в якому АВ = 16 см, АС = 12 см, ВС = 20 см. На стороні АВ взято точку М так, що ВМ : МА = 3 : 1. Через точку М проведено площину, яка перетинає сторону АС в точці К. Знайдіть площу трикутника АМК, якщо відомо, що дана площина паралельна ВС.
Варіант 4
1. Дано дві прямі a і b , що перетинаються. Через точку А, яка лежить на прямій а, проведено пряму с паралельно прямій b. Скільки різних площин можна провести через ці три прямі?
А) одну; Б) дві; В) три; Г) жодної.
2. Якою фігурою може бути паралельна проекція прямокутника на площину?
А) трикутником; Б) трапецією; В) відрізком; Г) точкою.
3. На мал.1 точка О-центр вписаного в трикутник АВС кола, ОМ (АВС), ОК АС. Відстані від точки М до точок А і К дорівнюють a і bвідповідно. Порівняйте величини a і b, якщо це можливо.
А) ; Б) ;
В) ; Г) порівняти неможливо.
4. Точка М належить площині грані АВСD прямокутного паралелепіпеда АВСDA1B1C1D1 (мал. 2). Знайдіть кут між прямими A1В1 і СМ, якщо кут ВСМ дорівнює 140º.
А) 40°; Б) 50°;
В) 90°; Г) 140°.
5. Площа ортогональної проекції чотирикутника дорівнює 24 см2. Кут між площиною проекції та площиною даного чотирикутника становить 60°. Знайдіть площу чотирикутника.
А) 48 см2; Б) 18 см2; В) 20 см2; Г) 62 см2.
6. Кути ромба відносяться як 1 : 3, а його сторона дорівнює 8 см. Знайдіть площу ромба.
7. Площина перетинає сторони АВ і АС трикутника АВС в точках В1 та С1 відповідно. АС1 : С1С = 3 : 2 та В1С1 = 5 см. Знайдіть довжину відрізка ВС, якщо ВС ׀׀ .
8. Вершина С рівностороннього трикутника АВС, сторона якого 8 см, віддалена від площини α на відстань см. Обчисліть кут між площинами трикутника АВС і α, якщо сторона АВ лежить у площині α.
Варіант 5
1.Які з наведених нижче тверджень правильні:
1) якщо пряма перетинає дві основи трапеції, то вона лежить у площині цієї трапеції;
2) якщо діаметр круга належить площині, то всі точки круга належать цій площині?
А) жодне; Б) лише перше; В) лише друге; Г) обидва.
2. Точки К і М є серединами ребер PB і PC тетраедра PABC (мал. 1). Якій із зазначених площин паралельна пряма МК?
А) РАВ; Б) РВС;
В) РАС; Г) АВС.
3. Пряма ОМ перпендикулярна до площини кола з центром в точці О. Знайдіть радіус кола ОВ, якщо МВ = 12 см, ОМВ=30°.
А) 12; Б) ; В) ; Г) 6.
4. Дано куб АВСDA1B1C1D1 і пряму l, яка проходить через вершину С і середину ребра A1B1 (мал. 2). Яку із зазначених прямих перетинає пряма l?
А) DD1; Б) ВС; В) ВB1; Г) AD.
5. Пряма АК проходить через вершину А трикутника АВС, АК АВ і АК АС. Який кут утворює пряма АК із площиною трикутника АВС?
А) 900; Б) 600;
В) 300; Г) визначити неможливо.
6. За координатами середин сторін трикутника (5; 1), (9; −2), (9; 4) визначте довжини його сторін.
7. Сторона АВ трикутника АВС лежить в площині . Площина , яка є паралельною до , перетинає сторони АС та ВС в точках А1 та В1 відповідно. Знайдіть довжину відрізка А1В1, якщо А1С = 9 см, АА1 = 3 см, АВ = 8 см.
8. Рівнобічну трапецію, периметр якої дорівнює 48 см, а гострий кут 60о, розташовано в площині α. Точка М однаково віддалена від усіх сторін трапеції і знаходиться на відстані 3 см від площини α. Знайдіть відстань від цієї точки до сторін трапеції.
Варіант 6
1. Які з наведених нижче тверджень правильні:
1) якщо пряма перетинає дві діагоналі трапеції, то вона лежить у площині цієї трапеції;
2) якщо три вершини ромба належать площині, то всі точки ромба належать цій площині?
А) жодне; Б) лише перше; В) лише друге; Г) обидва.
2. Точки К і М є серединами ребер PB і ВC тетраедра PABC відповідно (мал. 1). Якій із зазначених площин паралельна пряма МК?
А) РАВ; Б) РВС;
В) РАС; Г) АВС.
3. На мал.2 ВО α, ВС a. Яке співвідношення правильне?
А) ; Б) ;
В) ; Г) неможливо визначити.
4. АВСDA1B1C1D1 - куб. Виберіть пряму, яка із прямих є мимобіжною з прямою DA.
А) АВ; Б) ВB1; В) B1C1; Г) СВ.
5. У правильній трикутній піраміді SABC SO - висота, точка N належить ребру SB, N1 - проекція точки N на площину основи піраміди. Визначить вид кута NN1B.
А) прямий; Б) тупий; В) гострий; Г) не можна визначити.
6. Вершини трикутника знаходяться в точках (5; 1), (7; 2), (9; −2). Який вид має даний трикутник?
7. Побудуйте переріз прямої призми ABCA1B1C1 площиною, що проходить через вершину А та точки Е та F, які лежать на ребрах ВВ1 та В1С1 відповідно.
8.Трапеція є вписаною в коло, причому менша її основа, що дорівнює 16 см, стягує дугу в 60о. На відстані 12 см від площини трапеції знаходиться точка, рівновіддалена від всіх вершин трапеції. Знайдіть відстань від цієї точки до вершин трапеції.
Варіант 7
1. Які з наведених нижче тверджень правильні:
1) якщо площина паралельна двом діагоналям ромба, то вона паралельна його площині;
2) якщо пряма паралельна двом різним площинам, то ці площини паралельні?
А) жодне; Б) лише перше; В) лише друге; Г) обидва.
2. На мал.1 зображено куб і позначено три точки. Одна точка є серединою ребра куба, а дві інші розміщені у його вершинах. Укажіть геометричну фігуру, яка є перерізом куба площиною, що проходить через ці точки.
А) правильний трикутник;
Б) трикутник, який не є правильним;
В) прямокутник, який не є квадратом;
Г) квадрат.
3. Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму і точку в просторі?
А) одна; Б) безліч; В) дві; Г) одна або безліч.
4. Відстань від точки М до сторін квадрата дорівнює 13 см. Знайдіть відстань від точки М до площини квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює 10 см.
А) 8 см; Б) 11 см; В) 12 см; Г) 14 см.
5. SABCD – чотирикутна піраміда (мал. 2). Площини МНК і АВС паралельні. К − середина ребра SC. Оберіть правильну відповідь:
А) АМ = МS; Б) AM > MS;
В) AM < MS; Г) не можна порівняти.
6. Діагональ ромба ділить його висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки, які відносяться як 13 : 5. Знайдіть цю висоту, якщо сторона ромба дорівнює 65 см.
7. Із точки до площини проведено дві похилі, довжини яких відносяться як 5 : 6. Знайдіть відстань від точки до площини, якщо відповідні проекції похилих дорівнюють 4 см і см.
8. Кінці відрізка лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну із площин відповідно дорівнюють см і 20 см. Відстань між основами перпендикулярів, проведених із кінців відрізка до площин, дорівнює 12 см. Знайдіть довжину даного відрізка.
Варіант 8
1. Які з наведених нижче тверджень правильні:
1) якщо площина паралельна двом сторонам ромба, то вона паралельна його площині;
2) якщо пряма a паралельна площині трикутника АВС, то прямі а і АВ паралельні?
А) жодне; Б) лише перше; В) лише друге; Г) обидва.
2. На мал. 1 зображено куб і позначено три точки. Дві точки є серединами ребер куба, а третя розміщена у його вершині. Укажіть геометричну фігуру, яка є перерізом куба площиною, що проходить через ці точки.
А) паралелограм;
Б) трапеція;
В) тупокутний трикутник;
Г) прямокутний трикутник.
3. Дано дві площини α і β, які перетинаються. Точка М не належить жодній із них. Скільки існує прямих, які проходять через М і паралельні α і β?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або одна.
4. Відстань від точки М до всіх вершин квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть відстань від точки М до площини квадрата, якщо його діагональ дорівнює 6 см.
А) 3 см; Б) 4 см; В) 2 см; Г) 8 см.
5. SABCD – чотирикутна піраміда (мал. 2). Площини PRQ і АВС паралельні. Порівняйте довжини відрізків АР і PS.
А) AP = PS; Б) AP > PS;
В) AP < PS; Г) не можна порівняти.
6. У рівнобедреному трикутнику бісектриса кута при основі, ділить висоту, яка проведена до основи, на відрізки 20 см та 12 см. Знайдіть периметр трикутника.
7. Площини і паралельні. В площині вибрано точки M і N, а в площині − точки M1 і N1 такі, що прямі МM1 і NN1 паралельні. Знайдіть довжину відрізків NN1 і M1N1, якщо MN = 5 см, МM1 = 6 см.
8. Через гіпотенузу АВ прямокутного рівнобедреного трикутника АВС проведено площину β під кутом 45° до площини трикутника. Обчисліть кути нахилу катетів трикутника АВС до площини β.
Варіант 9
1. На мал. 1 зображено куб АВСDA1B1C1D1. Переріз куба площиною АСС1 –це…
А) дві паралельні прямі;
Б) відрізок;
В) трикутник;
Г) прямокутник.
2. Як розміщені дві прямі, якщо їх проекції на площину паралельні?
А) перетинаються; Б) паралельні;
В) мимобіжні; Г) не можна визначити.
3. Укажіть пряму перетину площин АСК і АРВ на малюнку 2.
А) АК; Б) АВ;
В) АР; Г) РВ.
4. Точка, віддалена від усіх вершин прямокутного трикутника на 5 см, розміщена на відстані 2 см від площини трикутника. Знайдіть довжину гіпотенузи трикутника.
А) см; Б) см; В) см; Г) см.
5. Площа трапеції дорівнює 40 см2. Кут між площиною трапеції і площиною її проекції становить 60°. Знайдіть площу проекції трапеції.
А) 49 см2; Б)18 см2; В) 20 см2; Г) 62 см2.
6. У коло вписані квадрат і правильний шестикутник. Периметр квадрата дорівнює 84 мм. Знайдіть периметр шестикутника.
7. Із точки, що знаходиться на відстані 4 см від площини, проведено до цієї площини дві похилі довжиною 5 см і см. Кут між проекціями цих похилих дорівнює 60о. Знайдіть відстань між основами похилих.
8. Доведіть, що коли площина і пряма, яка не лежить у цій площині, паралельні одній і тій же площині, то вони паралельні між собою.
Варіант 10
1. На мал. 1 зображено прямокутний паралелепіпед АВСDA1B1C1D1. Переріз даного многогранника площиною, яка проходить через середини бічних ребер - це…
А) шестикутник; Б) прямокутник;
В) паралелограм; Г) відрізок.
2. Як розміщені два відрізка, якщо їх паралельні проекції на площину перетинаються?
А) перетинаються; Б) паралельні;
В) не перетинаються; Г) не можна. визначити.
3. На мал. 2 АВ − дотична до кола з центром у точці О, точка В − точка дотику, , відстань від точки С до прямої АВ дорівнює діаметру кола. Знайдіть кут між площинами АВС і АОВ.
А) 60º; Б) 30º;
В) 45º; Г) 90º.
4. На мал. 3 DO α, OB a. Порівняйте довжини відрізків DA і DB.
А) DA > DB; Б) DA < DB;
В) DA = DB; Г) не можна визначити.
5. Площа ромба дорівнює 36 см2, а кут між площиною його проекції та площиною ромба становить 60°. Знайдіть площу проекції ромба.
А) 49 см2; Б) 18 см2; В) 20 см2; Г) 62см2.
6. Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює 12 см і перпендикулярна до бічної сторони, а також є бісектрисою кута при основі, що дорівнює 60о. Обчисліть площу трапеції.
7. Із точки, що знаходиться на відстані 12 см від площини, проведені до цієї площини дві похилі довжиною 13 см і 20 см. Відстань між основами похилих дорівнює 19 см. Знайдіть кут між проекціями похилих.
8. Пряма b лежить в площині α. Пряма а не лежить в площиніα і паралельна прямій b. Через точку М, яка лежить в площині α (М b), проведено пряму с, паралельну а. Доведіть, що с лежить в площині α.
Варіант 11
1. Дано куб АВСDA1B1C1D1. Назвіть переріз куба, який проходить через ребро АА1 і містить діагональ нижньої основи.
А) АA1D1D; В) АA1C1C;
Б) АA1B1B; Г) не можна визначити.
2. Площини і паралельні. Точка М не належить жодній з них. Скільки всього існує прямих, які проходять через М і паралельні площинам і ?
А) одна; Б) дві; В) безліч; Г) визначити неможливо
3. На мал.1 зображено трикутну піраміду SABC, у якої ASC=85°, SAC=65°. Площини MNL і SAC паралельні. Визначте NML.
А) 85°; Б) 65°;
В) 30°; Г) 150°.
4.Із точки А до площини проведено перпендикуляр і похилу, довжина якої 20 см. Кут між похилою і площиною 60°. Знайдіть довжину перпендикуляра.
А) 10 см; Б) см; В) см; Г) см.
5. Площа трикутника дорівнює 36 см2, а його ортогональної проекції - 18 см2. Знайдіть кут між площиною проекції і площиною даного трикутника.
А) 90°; Б) 60°; В) 45°; Г) 30°.
6. Бічна сторона рівнобічної трапеції з кутом при основі 30о дорівнює 10 см, а діагональ 25 см. Обчисліть площу трапеції.
7.Сторони трикутника АВС дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. Із вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр АD, який дорівнює 15 см. Знайдіть відстань від точки D до сторони ВС трикутника.
Доведіть, що через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини.Варіант 12
1. Дано прямокутний паралелепіпед АВСDA1B1C1D1. Назвіть переріз паралелепіпеда, який проходить через ребро ВВ1 і містить діагональ верхньої основи.
А) B1ВСС1 ; Б) B1ВDD1;
В) B1ВAA1 ; Г) не можна визначити.
2. Паралельною проекцією прямокутного трикутника АВС є відрізок А1В1, АВС=90°, АС = 6, ВС = 8. Паралельною проекцією точок А і С є точка А1, а точки В - В1. Знайдіть довжину проекції медіани СМ.
А) 3; Б) 6; В) 4; Г) 8.
3. Скільки різних площин можна провести через точки А, В і С, якщо АВ = 2 см, ВС = 2 см, АС = 2 см?
А) жодної; Б) дві; В) більше ніж дві; Г) одну.
4. На мал. 2 зображено правильну чотирикутну піраміду SABCD. SO - висота. Який кут є кутом між площинами грані SAD і основи АВСD?
А) SAC; Б) SNO;
В) SDB; Г) SCN.
5. Площина α перетинає відрізок АС у точці В, причому АВ : ВС = 2 : 1 (мал.3). Через точки А і С проведено паралельні прямі, які перетинають площину α у точках А1 і С1 відповідно. Знайдіть периметр трикутника АВА1, якщо периметр трикутника СВС1 дорівнює 4.
А) 2; Б) 4;
В) 8; Г) 16.
6. Дві хорди кола перетинаються. Одна з них ділиться точкою перетину на відрізки 3 см і 12 см, а друга — навпіл. Знайдіть довжину другої хорди.
Із даної точки до площини проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 6 см. Їх проекції на цю площину дорівнюють 27 см і 15 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини.
8. Дві різні площини α і βпаралельні до площини γ. Доведіть, що площини α і β паралельні.
Варіант 13
1. АВСDA1B1C1D1 – куб, пряма l проходить через вершину А1 і середину ребра DC (мал. 1). Яку із зазначених прямих перетинає пряма l?
А) D1D; Б) BС;
В) АA1; Г) АD.
2.Які з тверджень є вірними:
1) пряма, що не лежить у площині трикутника, перетинає дві його сторони;
2) пряма не є паралельною площині на якій є прямі їй паралельні?
А) жодне; Б) перше; В) друге; Г) обидва.
3. Точка М рівновіддалена від вершин рівностороннього трикутника АВС (мал. 2), МО (АВС). Знайдіть довжину проекції похилої МВ на площину АВС, якщо сторона трикутника см.
А) 8 см; Б) 4 см;
В) 15 см; Г) см.
4. Відрізок АВ не перетинає площину β, А1В1 — проекція відрізка АВ на площину β, АА1 = 4 см, ВВ1 = 10 см. Знайдіть відстань від середини відрізка АВ до площини β.
А) 14 см; Б) 7 см; В) 6 см; Г) 3 см.
5. Площа трапеції дорівнює 48 см2, а кут між площиною її ортогональної проекції і площиною трапеції становить 60°. Знайдіть площу проекції даної трапеції.
А) 96 см2; Б) 18 см2; В) 24 см2; Г) 62 см2..
6. Складіть рівняння кола, що проходить через початок координат і має центр у точці А (4; 3).
7. Через вершину А паралелограма АВСD проведено площину α. Через точки В, С і D проведено паралельні прямі, які перетинають α в точках В1, С1, D1 відповідно. Знайдіть DD1, якщо ВВ1 = 4 см, СС1 = 12 см.