Критерій Коші, теореми Коші та Штольца

Послідовність називається фундаментальною, якщо

:

Теорема 1. (Критерій Коші)

Послідовність дійсних чисел збігається тоді і тільки тоді, коли вона фундаментальна.

Доведення. Необхідність. Нехай існує . Тоді : :

.

Необхідність доведена.

Достатність. Якщо – фундаментальна, то вона обмежена, що випливає з раніше доведених тверджень. За теоремою Больцано-Вейєрштрасса існує збіжна підпослідовність . Із означення фундаментальності , а далі за теоремою про суму двох збіжних послідовностей, одержимо, що збігається.

Достатність доведена.

Теорема доведена.

Послідовність має обмежену варіацію, якщо : .

Лема 1. (Про послідовність з обмеженою варіацією)

Послідовність , що має обмежену варіацію – збіжна.

Доведення. Позначимо , вона обмежена та неспадна, з чого слідує, що вона збіжна, і за критерієм Коші – фундаментальна

– фундаментальна збіжна.

Лема доведена.

Нехай – числові послідовності. Якщо , то будемо записувати та казати, що послідовність є малою в порівнянні з послідовністю .

Лема 2. (Критерій о-малості послідовності)

.

Доведення. .

Лема доведена.

Теорема 2. (Часткові суми о-малої послідовності)

Нехай , при і . Тоді

.

Доведення. З умови ми маємо, що . Крім того з умови випливає, що : .

Теорема доведена.

Наслідок 1. (Границя відношення часткових сум)

Нехай і . Якщо , то .

Доведення. Нехай . Оскільки , і , то за теоремою 2 права частина прямує до нуля.

Якщо , то за теоремою 2 . Аналогічно для випадку .

Теорема доведена.

Наслідок 2. (теорема Коші)

Якщо існує , то існує .

Доведення. Для доведення достатньо в останньому наслідку покласти .

Теорема доведена.

Теорема 3. (Штольца)

Якщо послідовність монотонно прямує до , та , то .

Доведення. Для доведення достатньо в наслідку покласти , ; , . Тоді , .

Теорема доведена.

Приклад 1. Знайти .

; .

Для довільних додатних дійсних чисел визначимо:

середнє арифметичне – ;

середнє геометричне – ;

середнє гармонічне – ;

середнє степеневе порядку – .

З’ясувати, яким значенням параметру відповідають визначені вище середні, а також узагальнити середні степеневі на випадок довільного залишаємо читачам.

Приклад 2. Границя середніх – арифметичного, гармонічного, геометричного.

Нехай послідовність додатних дійсних чисел така, що . Довести тоді, що до тієї ж самої границі збігаються також середнє арифметичне , середнє геометричне і середнє гармонічне чисел .

Твердження для середнього арифметичного безпосередньо випливає з теореми Коші. Для середнього гармонічного також з цієї теореми легко одержати, що , тому що , з чого маємо: . Для середнього геометричного все випливає з теореми про двох поліцаїв та нерівності між середніми: , а тому і .

Теорема 4. (Границя кореня n-го степеня)

Якщо для послідовності додатних чисел , то

.

Доведення. За останнім прикладом (для середнього геометричного) маємо:

.

Теорема доведена.