Комплексные показатели надёжности

К комплексным показателям надёжности относятся коэффициенты: готовности, оперативной готовности, технического использования и сохранения эффективности. Все комплексные показатели описывают надёжность восстанавливаемых объектов.

Коэффициент готовности К_Г – это вероятность того, что объект окажется в рабо­тоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается. Различают стационарный и нестационарный коэффициенты готовности, а также средний коэффициент готовности [3].

Выведем выражение для стационарного коэффициента готовности восстанавливаемых объектов. С точки зрения потребителя интерес представляют два состояния таких объектов:

- S₀(t) с вероятностью пребывания P₀(t), в котором система может использоваться по своему назначению,

- S₁(t) с ве­роятностью P₁(t) - система использоваться по своему назначе­нию не может.

По определению К_г = P₀ – вероятность застать систему в установившемся режиме в исправном состоянии, а К_п = P₁ - вероятность застать систему в этом же режиме в неисправном состоянии. Граф переходов и зависимость состояния от времени такой системы показаны на рисунке 3.3 а и б (слева).

Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний объекта можно составить по виду графа состояний, используя инженерное правило, сформулированное академиком А. Н. Колмогоровым [5]:

Производная по времени от вероятности P_k(t) пребывания системы в любой момент времени t в состоянии k равна алгебраической сумме произведений интенсивностей переходов в k-ое состояние (или из k-го состояния) на вероятность того состояния, откуда совершается переход в k-е состояние. Причем, тем слагаемым, которым соответствуют уходящие стрелки из k-го состояния приписывается знак “минус”, а входящим - “плюс”.

Кроме того, используется нормировочное отношение

(3.33)

В итоге для нашего примера имеем

dP₀(t) / dt = -λ·P₀(t) + μ·P₁(t); (3.34)

dP₁(t) / dt = λ·P₀(t) - μ·P₁(t); (3.35)

P₀(t) + P₁(t) = 1. (3.36)

С учётом того, что в установившемся режиме P_k не зависит от времени t и dP_к(t) / dt = 0 выражения (3.34) и (3.36) примут вид

0 = -λ·P₀ + μ·P₁; (3.37)

P₀ + P₁ = 1. (3.38)

Из двух последних уравнений имеем

P₀ = (μ / λ)·P₁ = (μ. / λ)·(1- P₀) = (μ / λ) – (μ· P₀) / λ. (3.39)

Откуда

P₀ = (μ / λ) / (1 + μ / λ) = μ / (λ + μ) = К_г; (3.40)

P₁ = 1- P₀ = λ / (μ + λ) = К_п. (3.41)

Учтём, что интенсивности восстановления μ и интенсивности отказов λ определяются выражениями

μ = 1 / Т_в , (3.42)

λ = 1/ Т, (3.43)

где Т_в – среднее время восстановления, а Т - средняя наработка до отказа.

Тогда получим выражения для стационарных коэффициента готовности К_г и для коэффициента простоя К_п:

К_г = Т / (Т + Т_в), (3.44)

К_п = Т_в / (Т + Т_в). (3.45)

Коэффициент оперативной готовности К_ОГ(t) - это вероятность того, что объект окажется в ра­ботоспособном состоянии в произвольный момент времени t, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, начиная с этого момента, будет работать безотказно в течение заданного интервала времени. При экспоненциальном законе вероятности безотказной работы

К_ОГ(t) = К_Г ×ехр(- λ×t). (3.46)

Коэффициент готовности характеризует готовность объекта к применению по назначению только в отношении его работоспособности в произвольный мо­мент времени. Коэффициент же оперативной готовности характеризует надёжность объекта, необходимость применения которого возникает в произвольный момент времени, после которого требуется безотказная работа в течение заданного интервала времени.

Нестационарный коэффициент готовности k_Г(t), называемый также функцией готовности - это вероятность того, что объект окажется в рабо­тоспособном состоянии в заданный момент времени, отсчитываемый от начала работы (или от другого строго определённого момента времени). Иными словами, вероятность k_Г(t) пребывания системы в состоянии готовно­сти к функциональному применению называется функцией готов­ности [19, 21]:

(3.47)

При t → ∞

k_Г(t) = К_г. (3.48)

Средний коэффициент готовности - это усреднённое на данном интервале времени значение нестационарного коэффициента готовности [21].

Восстановительные работы могут состоять из работ по техническому обслуживанию (ТО) работоспособного, хотя и неисправного, изделия и ремонта отказавшего изделия. Пребывание изделия в этих состояниях учитывается и оценивается с помощью коэффициента технического использования - К_ТИ. Коэффициент технического использования характеризует долю продолжительности нахождения объекта в работоспособном состоянии относительно общей продолжительности эксплуатации [3, 14].

Выведем выражение для коэффициента технического использования восстанавливаемых объектов. Граф переходов и зависимость состояния от времени такой системы показаны на рисунках 3.3 а и б (справа). Дифференциальные уравнения для вероятностей состояний объекта составим по виду графа состояний, используя инженерное правило А. Н. Колмогорова. Кроме того, запишем нормировочное отношение (3.29). В итоге получим:

dP₀(t) / dt = - P₀(t)×(λ +Ʋ_ТО) + μ×Р₁(t) + μ_ТО×Р₂(t); (3.49)

dP₁(t) / dt = λ·P₀(t) – μ×P₁(t); (3.50)

P₀(t) + P₁(t) + Р₂(t) = 1. (3.51)

Здесь: интенсивности восстановления μ и интенсивности отказов λ определяются выражениями (3.42) и (3.43); интенсивность μ_ТО связана со средней продолжительностью ТО (Т_ТО), а интенсивность Ʋ_ТО - с периодом времени между предыдущим и последующим ТО (τ_ТО) зависимостями

Т_ТО = 1 / μ_ТО, (3.52)

τ_ТО = 1 / Ʋ_ТО. (3.53)

При t → ∞ с учетом стационарности наблюдаемого случайного процесса имеем [3]:

К_ТИ = Т / [Т + Т_В + Т_ТО×(Т / τ_ТО)]. (3.54)

Оптимальный период времени между предыдущим и последующим ТО, в котором минимизируется величина коэффициента простоя К_П, находят по формуле [5]:

τ_{ТО ОПТ} = (2×Т_ТО×Т)^0,5 . (3.55)

Однако в литературе коэффициент технического использования К_ТИ часто рассчитывают как отно­шение математического ожидания времени пребывания объекта в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации к сумме математических ожиданий интервалов времени пребывания изделий в работоспособном состоянии и простоев, обусловленных техническим обслуживанием и ремонтом за тот же период:

К_ТИ = Т / (Т + Т_В + Т_ТО), (3.56)

то есть принимают отношение (Т / τ_ТО) в формуле (3.54) равным единице.

В процессе технического обслуживания также должно осуще­ствляться полное или частичное обновление системы, что зафик­сировано на графиках рисунков 3.3 б и в (справа) зависимостями Р(t) и λ(t). Однако в современных сложных РЭС отказ элемента или РЭУ не всегда ведет к отказу системы и с этой точки зрения являет­ся дефектом. В процессе эксплуатации возникает необходимость выявления дефектов и предотвращения отказов. Эффективность этого процесса можно характеризовать вероятностью отсутствия дефекта в произвольный момент времени при, нахождении РЭС в рабочем состоянии - коэффициентом отсутствия дефектов [3]:

(3.57)

где P_К(t) - представляется суммарной вероятностью пребывания РЭС в подмножестве К состояний, включающем в себя все ситуа­ции, когда в рабочем режиме отсутствуют дефекты.

Коэффициент сохранения эффективности - это отношение значения показателя эффективно­сти использования объекта по назначению за оп­ределенную продолжительность эксплуатации к номинальному значению этого показателя, вычисленному при условии, что отказы объекта в те­чение того же периода не возникают. Коэффициент сохранения эффективности характеризует степень влияния отказов объекта на эффективность его применения по назначе­нию. Для каждого конкретного типа объектов содержание понятия эффектив­ности и точный смысл показателя (показателей) эффективности задаются тех­ническим заданием и вводятся в нормативно-техническую и (или) конструк­торскую (проектную) документацию [14].

Распределения Пуассона, Эрланга и временные зависимости показателей надёжности для законов распределения наработки на отказ, характерных для участка приработки и участка постепенных износовых отказов