Інтегрування раціональних функцій
Функцію називають раціональною, якщо її можна подати у вигляді
, де
– многочлени з дійсними коефіцієнтами.
Якщо степінь многочлена менший за степінь многочлена
, то раціональну функцію називають правильною, я якщо більший або дорівнює йому, – то неправильною. Неправильну раціональну функцію завжди можна перетворити на правильну, виділивши цілу частину
, (4)
де ,
,
деякі многочлени, та степінь многочлена
менший за степінь многочлена
.
Надалі будемо розглядати саме правильні раціональні функції.
Якщо – многочлен степеня
, то його завжди можна розкласти на такі множники:
, (5)
де – кратність коренів
, а квадратні вирази
не мають дійсних коренів, тобто, не розкладаються на множники. Тоді правильний раціональний дріб
єдиним чином представляється у вигляді суми найпростіших раціональних дробів:
Якщо , то
.
Розклад правильної раціональної функції на найпростіші раціональні дроби здійснюється методом невизначених коефіцієнтів. Якщо множники в знаменнику є двочлени у першому степені, то такий дріб розкладається на суму дробів, у яких знаменниками є двочлен, а в чисельнику стала величина Наприклад:
.
Оскільки перший і останній дроби рівності однакові та однакові їхні знаменники, то повинні бути однаковими також їхні чисельники:
.
Із цієї рівності відносно A та B дістанемо систему рівнянь:
.
Розв’язком цієї системи є A=3, B=3. Отже,
.
Якщо в знаменнику двочлен має степінь 2, то при розкладі на найпростіші дроби будуть міститись два дроби, у яких знаменником для першого дробу буде двочлен в першому степені, а для другого – цей самий двочлен в другому степені. Чисельниками будуть сталі величини.
.
Так як перший і останній дроби рівності однакові, їхні знаменники однакові, то повинні бути однаковими й чисельники. Два многочлена однакові, якщо однакові відповідні коефіцієнти при однакових степенях змінної . Це призводить до системи лінійних рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів
:
Розв'язком цієї системи є . Отже
.
Якщо ж у знаменнику буде множником квадратний тричлен, який не розкладається на множники, то при розкладі на найпростіші дроби, знаменником якого буде цей тричлен, у чисельнику буде знаходитись двочлен виду Ax+B.
.
Прирівнявши чисельники першого та останнього дробів цієї рівності, дістанемо систему рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів:
Розв’язком цієї системи є . Отже,
.
Таким чином, інтегрування правильного раціонального дробу зводиться до інтегрування таких найпростіших раціональних дробів:
1. .
2. ,
.
3. ,
.
4. ,
,
.
Для інтегрування раціонального дробу використовують алгоритм:
1 крок (виконується для неправильних дробів). Виділити цілу частину та правильний дріб
.
2 крок Розкласти многочлен на множники (5)
3 крок. Розкласти дріб на суму найпростіших раціональних дробів методом невизначених коефіцієнтів.
4 крок. Проінтегрувати цілу частину і кожний з утворених найпростіших раціональних дробів. Останній крок алгоритму можливий завдяки використання наступних формул: