Определение доверительных границ параметров закона распределения

Полученные значения количественных характеристик показателей надежности в дальнейшем должны быть распространены на другие технологические системы, работающие в условиях, отличных от исследуемых. При этом изменение количества технологических систем в группе и усло­вий их эксплуатации вызовет и изменение количественных показателей надежности. Несмотря на то, что эти изменения носят случайный ха­рактер, они происходят в определенных границах или в определенном интервале. Величина этого интервала зависит от многих факторов, в том числе и от количества технологических систем в группе. Определение границ рас­сеивания характеристик показателей надежности, а следовательно, и определение возможной ошибки их переноса из одних условий в другие является одной из основных задач теории надежности.

Поэтому после того, как вид закона установлен, определяют границы доверительного интервала количественных показателей надежности, и в первую очередь, доверительного интервала значений математичес­кого ожидания. Для нормального закона распределения в общих случаях в качест­ве доверительного интервала принимают интервал, отличающийся от среднего значения показателя на величину . Площадь между дифференциальной кривой и осью абсцисс, ограни­ченная величиной , составляет 0,997 или 99,7% всей площади, т.е. в 997 случаях из 1000 значение одиночного показателя (точеч­ной оценки) надежности будет находиться в интервале .

Задаваясь заранее меньшими значениями площади охвата, соответственно сближают границы рассеивания точечной оценки пока­зателя надежности и тем самым уменьшают возможную погрешность рас­чета, хотя и за счет снижения доверия. При обработке эмпирических данных о надежности технологических систем и их эле­ментов нередко требуется определить не только точечную оценку, но и ее точность и достоверность, т.е. необходимо найти к каким слу­чайным ошибкам может приводить, например, замена параметра его оценкой. Экспериментальная оценка является случайной величи­ной, поэтому можно указать определенную вероятность γ того, что истинное значение параметра α заключено в пределах заданной точности оценки, т.е.:

, (31)

где - заданная точность; - достоверность оценки (довери­тельная вероятность).

Характеристики оценивания являются более полными, если оцени­вать параметр не по одной, а по двум оценкам нижней и верх­ней .

Для заданной вероятности , по конечной совокупности наблюдений t₁, t₂,…,t_N случайной величины может быть получена такая оценка (рис. 2), что интервал от до
накрывает, параметр с этой вероятностью :

. (32)

Величина называется нижней доверительной границей параметра , а величина - односторонний доверительной вероятностью.

Рис. 2. Доверительные границы

При таких же условиях для заданной вероятности может быть получена такая оценка (см. рис. 2), что интервал от 0 до накрывает параметр с этой вероятностью .

, (33)

Величина называется верхней доверительной границей, а ве­личина - односторонней доверительной вероятностью.

Нижняя и верхняя доверительные границы образуют доверительный интервал, который с двусторонней доверительной вероят­ностью накрывает параметр :

, (34)

Двусторонняя доверительная вероятность определяется при условии, что , и больше 0,5:

, (35)

Если , равенство (35) принимает вид:

, (36)

и тогда односторонняя доверительность вероятность:

, (37)

Величина характеризует достоверность оценки, а величина (доверительный интервал) (cм. рис. 2) – точность оценки.

При нормальном законе распределения нижняя и верхняя односто­ронние доверительные границы параметра при заданной довери­тельной вероятности :

, (38)

, (39)

где - квантиль распределения Стьюдента для односторонней дове­рительной вероятности (выбирается по табл. 6 приложения в зависимости от принятого уровня доверительной вероятности и числа степеней свободы К = N - 1).

Для среднего квадратического отклонения σ односторонние до­верительные границы вычисляются по формулам:

, (40)

, (41)

где и коэффициенты, рассчитываемые в зависимости от односторонней доверительной вероятности и числа степеней сво­боды К = N – 1 по уравнениям

, (42)

, (43)

где - выбирается по табл. 6 приложения при К<100; и рекомендуется выбирать по таблицам ГОСТ 11.004-74.