Законы распределения погрешностей обработки

Закон нормального распределения (закон Гаусса). Многочисленные исследования, проведенные профессорами А.Б.Яхиным, А.А.Зыкиным и другими, показали, что распределение действительных размеров загото­вок, обработанных на настроенных станках, очень часто подчиняется за­кону нормального распределения (закону Гаусса).

Это объясняется известным положением теории вероятностей о том, что распределение суммы большого числа взаимно независимых случай­ных слагаемых величин (при ничтожно малом и примерно одинаковом влиянии каждой из них на общую сумму и при отсутствии влияния доми­нирующих факторов) подчиняется закону нормального распределения Га­усса.

Кривые распределения характеризуются следующими основными величинами: средним арифметическим размером и средним квадрати- ческим отклонением s .

Среднеарифметический размер данной партии деталей равен

(6.1)

где L_i – размеры отдельных деталей;

n – количество деталей в партии.

Среднее квадратичное отклонение:

(6.2)

где х_i=L_i-L_cp.

Величина s характеризуетрассеивание размеров и, следовательно, форму кривой распределения, являясь мерой рассеяния или мерой точно­сти.

Разность между наибольшим и наименьшим действительными раз- деталей в партии называют размахом распределения или полем рассеивания:

(6.3)

Кривая нормального распределения показана на рис. 3.2. и описывается следующим уравнением:

(6.4)

где е – основание натурального логарифма.

Кривая нормального распределения характеризуется следующими свойствами: она симметрична относительно оси ординат, и ветви ее асимптотически приближаются к оси абсцисс. Ордината вершины кривой (при L_i=L_cp) определяется из выражения

(6.5)

На расстоянии ±s от вершины кривая имеет две точки перегиба (точки А и В) с ординатами

(6.6)

Площадь ограничения кривой нормального распределения равна

(6.7)

В пределах расстояния ±3s площадь составляет 99,73% от всей площади. Практически (с погрешностью 0,27%) можно считать, что в пре- делах ±3s заключена вся площадь, ограниченная кривой.

При увеличении s ордината у_тах уменьшается, а поле рассеивания 6s возрастает, вследствие чего кривая становится более пологой и низкой, что соответствует меньшей точности. Чем меньше величина , тем меньше рассеивание размеров, следовательно, больше точность обра­ботки. Сказанное иллюстрируется кривыми, изображенными на рис.6.1.

Если центр группирования совпадает с серединой поля допуска, то работа на данной операции без брака возможна при условии

Т³w (6.8)

где w - поле рассеивания, равное 6s;

Т – допуск на обработку.

Систематическая погрешность, вызванная, например, неточностью настройки станка или заменой мерного инструмента, не влияет на форму кривой распределения, а лишь смещает ее на соответствующую величину (рис.6.2). С учетом смещения кривой распределения работа без брака ха- рактеризуется условием

Т³w+D_n=6s+D_n, (6.9)

где D_n – смещение кривой распределения, вызванное систематической погрешностью.

Закон нормального распределения (закон Гаусса) в большинстве слу­чаев оказывается справедлив при механической обработке заготовок с точностью 8, 9, 10-го квалитетов и грубее. При более точной обработке распределение размеров обычно подчиняется другим законам.

Рис. 6.1. Влияние среднего квадратического отклонения s на форму кривой нормального распределения

Рис. 6.2. Влияние постоянной систематической погрешности на расположение кривых распределения

Рис. 6.3. Влияние износа инструмента на изменение действительных размеров деталей

Закон равнобедренного треугольника (закон Симпсона). При обра­ботке заготовок с точностью 7-го и 8-го, а в некоторых случаях и 6-го квалитетов распределение их размеров в большинстве случаев подчиняется закону Симпсона, который графически выражается равнобедренным тре­угольником (рис.6.4) с полем рассеяния

(6.10)

Величина среднего квадратического отклонения s и в этом случае определяется по формуле (6.2).

Рис. 6.4. Распределение размеров обработанных заготовок (закон Симпсона)

Закон равной вероятности. В том случае, когда при обработке, деталей на рассеивание размеров оказывает влияние один доминирующий фактор, например износ режущего инструмента, то распределение дейстельных размеров партии обработанных деталей подчиняется закон равной вероятности. Предположим, что обтачиваются валики понаружной поверхности. По мере износа резца наименьший предельный размер в партии деталей будет увеличиваться по прямолинейному закону (рис.4.5). Последние детали получат приращение диаметра на величину. Если эту величину разделить на несколько интервалов, то вполне понятно что в каждый такой интервал попадет одинаковое количество обработан­ных деталей, т.е. частота (или частость) окажется постоянной величиной, что свидетельствует о распределении фактических размеров валиков по закону равной вероятности.

Величина фактического рассеивания размеров в данном случае оп­ределяется по следующей формуле:

(6.11)

где s - среднее квадратическое отклонение, определяемое обычным способом (по формуле 6.2.).

Закон равной вероятности распространяется на распределение раз­меров заготовок повышенной точности (5 - 6-й квалитеты и выше) при их обработке по методу пробных ходов. Из-за сложности получения размеров очень высокой точности вероятность попадания размера заготовки в узкие границы допуска по среднему, наибольшему или наименьшему его значе­нию становится одинаковой.

Закон Реллея. По данному закону возможно распределение таких погрешностей обработки, как точность взаимного положения поверхностей (эксцентриситеты, уводы осей и пр.), погрешность формы поверхностей (овальность), ошибка в шаге резьбы и др. указанные погрешности являются положительными величинами.

Теоретическая кривая распределения по закону Реллея изображена на рис. 6.5. Она имеет несимметричную форму. Характер этой кривой свидетельствует об отсутствии деталей с нулевым эксцентриситетом (биением). Большая часть деталей имеет незначительный эксцентриситет R, а остальные – повышенную его величину. Поле рассеяния подсчитывается по формуле

(6.12)

Рис. 6.5. Кривая распределения Реллея (закон эксцентриситета)