Законы распределения, используемые в теории надежности
Закон распределения случайной величины - соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и их вероятностями. Он может быть представлен формулой, таблицей, многоугольником распределений.
В теории надежности наибольшее распространение получили следующие законы распределения случайных величин f(t):
для дискретных случайных величин –
биноминальный закон;
закон Пуассона;
для непрерывных случайных величин -
экспоненциальный закон;
нормальный закон (закон Гаусса);
гамма-распределение;
закон Вейбулла;
c2 - распределение;
логарифмически-нормальное распределение.
Биноминальный закон распределения числа n появления события A в m независимых опытах (испытаниях). Если вероятность появления события A в одном испытании равна p, вероятность непоявления события A равна q=1-p; число независимых испытаний равно m, то вероятность появления n событий в испытаниях будет
,
где - число сочетаний из m по n.
Свойства распределения следующие:
1) число событий n - целое положительное число;
2) математическое ожидание числа событий равно mp;
3) среднеквадратическое отклонение числа событий
.
При увеличении числа испытаний биноминальное распределение приближается к нормальному со средним значением n/m и дисперсией p(1-p)/m.
Нормальное распределение (рис. 1) случайной величины X возникает всякий раз, когда X зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из этих факторов по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Это условие характерно для времени возникновения отказа, вызванного старением, т.е. этот закон используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных (износовых) отказов.
Плотность вероятности отказов
f(t) = еxp[-(t-T)2/2s2],
где T - средняя наработка до отказа; s - среднее квадратическое (стандартное) отклонение времени безотказной работы.
Вероятность отказа время t
F(t)=
еxp[-(t-T)2/2s2].
Значения F(t) сводятся в стандартные таблицы.
Значение функции распределения определяется формулой
F(t) = 0,5 + Ф(u) = Q(t); u = (t-T) / s.
Вероятность отсутствия отказа за время t
P(t) = 1-Q(t) = 1-[0,5+Ф(u)] = 0,5 - Ф(u).
График l(t) показан на рис. 1. Интенсивность отказов монотонно возрастает и после T начинает приближаться к асимптоте:
y=(t-T)/s.
Монотонное возрастание интенсивности отказов с течением времени - характерный признак нормального распределения.
Нормальное распределение существенно отличается от экспоненциального. Началом отсчета времени t:
в выражении F(t) для нормального распределения - начало эксплуатации объекта, т.е. момент, когда начинается процесс износа и старения,
в выражении P(t) для экспоненциального распределения - момент времени, когда установлено, что изделие исправно (этот момент может быть расположен в любой точке на оси времени).
Представления распределений:
а – экспоненциальное; б - g-распределение;
в - Вейбулла; г - нормальное; д - усеченное нормальное; е - Рэлея
Усеченное нормальное распределение (рис. 1). Так как при нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от -¥ до +¥, а время безотказной работы может быть только положительным, следует рассматривать усеченное нормальное распределение с плотностью вероятности отказов
f(t) = еxp[-(t-T1)2/2s2].
Средняя наработка до отказа в усеченном распределении и параметр T1 неусеченного нормального распределения связаны зависимостью
T = T1 + f(t) = .
При T/s ³2, что имеет место в абсолютном большинстве случаев при оценке надежности устройств с нормально распределенными отказами, коэффициент c мало отличается от единицы и усеченное нормальное распределение достаточно точно аппроксимируется обычным нормальным законом.
Вероятность безотказной работы определяется из выражения
P(t) = .
Интенсивность отказов находится из
l(t) = .
Гамма-распределение (g-распределение) случайной величины
(рис. 1). Если отказ устройства возникает тогда, когда произойдет не менее k отказов его элементов, а отказы элементов подчинены экспоненциальному закону с параметрами l0, плотность вероятности отказа устройства
f(t) = ,
где l0 - исходная интенсивность отказов элементов устройства, отказ которого вызывается отказом k элементов. Этому распределению подчиняется время работы резервированных устройств.
Вероятность k и более отказов, т.е. вероятность отказа данного устройства,
P(n³k) = 1 - ехp(- l0t).
Плотность вероятности отказа устройства за время t
f(t)=
=
.
Среднее время работы устройства до отказа: T1 = kT0 = k/l0.
Интенсивность отказов устройства
Вероятность безотказного состояния устройства
P(t) = еxp(-l0t) .
При k = 1 g-распределение совпадает с экспоненциальным распределением.
При увеличении k g-распределение будет приближаться к симметричному распределению, а интенсивность отказов будет иметь все более выраженный характер возрастающей функции времени.
Распределение Вейбулла.Для случая, когда плотность потока отказов изменяется с течением времени, функция распределения времени до отказа приобретает вид, показанный на рис. 1.
Плотность вероятности отказов этого распределения:
f(t) = lata-1еxp(-l0ta).
Вероятность отсутствия отказа за время t
P(t) = еxp(-l0ta).
Интенсивность отказов
l(t) =al0ta-1.
Параметры a и l0 - параметры закона распределения. Параметр l0 определяет масштаб, при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается. При a = 1 функция распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением; при a < 1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при a > 1 - монотонно возрастающей. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры a и l0, с тем чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными.
Распределение Вейбулла имеет место для отказов, возникающих по причине усталости тела детали или поверхностных слоев (подшипники, зубчатые передачи). Этот случай связан с развитием усталостной трещины в зоне местной концентрации напряжений, технологического дефекта или начального повреждения. Период времени до зарождения микротрещины характеризуется признаками внезапного отказа, а процесс разрушения - признаками износового отказа.
Этот закон применим для отказов устройства, состоящего из последовательно соединенных дублированных элементов и других подобных случаев.
Это распределение иногда используется для описания надежности подшипников качения (a = 1,4 - 1,7).
Средняя наработка до первого отказа определится из следующего выражения:
T = .
Значения Г (гамма-функции) табулированы.
Распределение Рэлея - непрерывное распределение вероятностей с плотностью
p(x) = x/ s2 exp(-x2/2 s2) при x > 0;
p(x) = 0 при x£0,
зависящей от масштабного параметра s > 0. Распределение имеет положительную асимметрию, его единственная мода находится в точке x = s. Все моменты распределения Рэлея конечны.
Также как и распределение Вейбулла или g-распределение, распределение Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся или стареющих изделий.
Частота отказов (функция плотности распределения вероятности отказов) определяется:
f(t) = t/ s2 еxp(-t2/2s2)
Вероятность безотказной работы вычисляется из выражения
P(t) = еxp(-t2/2 s 2)
Интенсивность отказов находится из l(t) = t/ s2
Средняя наработка до первого отказа составит Т= .