Лекция 4. Дифференциальные уравнения. Линеаризация. Преобразования Лапласа

Линеаризация

Известно, что любое движение, процессы передачи, обмена, преобразования энергии и вещества математически можно описать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Любые процессы в АСР также можно описать дифференциальными уравнениями, которые определяют сущность происходящихв системе процессов независимо от ее конструкции и т.д. Решив ДУ, можнонайти характер изменения регулируемой переменной в переходных и установившихся режимах при различных воздействиях на систему.

Для упрощения задачи нахождения ДУ, описывающего работу АСР в целом, систему разбивают на ее отдельные элементы, переходные процессы в которых описываются достаточно простыми ДУ. Так как ДУ описывают работу системы независимо от физической сущности протекающих в ней процессов, то при декомпозиции системы нет необходимости учитывать их физическую целостность. Для каждого элемента структурной схемы необходимо составить ДУ, определяющее зависимость изменения выходной величины отвходной. Так как выходная величина предыдущего элемента является входной для последующего, то, определив ДУ отдельных элементов, можно найти ДУ системы.

Однако такой метод применим только в частных случаях. Дело в том, что в большинстве случаев в реальных элементах системы связь между входной и выходной величинами является нелинейной и часто задается в графической форме. Поэтому, даже если ДУ системы и будет получено, оно будет нелинейным. А аналитическое решение нелинейных ДУ возможно далеко не всегда.

Для решения этой проблемы учитывают, что в процессе регулирования отклонения всех изменяющихся величин от их установившихся значений малы, и поэтому возможна замена нелинейных ДУ приближенными линейными ДУ, то есть возможна линеаризация дифференциальных уравнений .

Рассмотрим сущность процесса линеаризации на примере сушильного шкафа. Зависимость температуры объекта от подаваемого напряжения в большинстве случаев нелинейна и имеет вид, представленный на рисунке 1.17.

Графически линеаризацию некоторого уравнения от двух переменных F(х,у) = 0 в окрестности некоторой точки (Х0, У0) можно представить как замену рассматриваемого участка кривой на касательную (см. рисунок 1.17), уравнение которой определяется по формуле

Где и - частные производные от F по х и у.

Данное уравнение называется уравнением в приращениях, поскольку значения х и у здесь заменены на приращения ∆Х=Х-Х0 и ∆У=У- У0.

Линеаризация ДУ происходит аналогично, отличие состоит только в том, что необходимо искать частные производные по производным . Итоговое уравнение в приращениях будет содержать приращения производных: ∆х’ = х’ – х’0, ∆х” = х” – х”0, … , ∆y’ = y’ – y’0, ∆y” = y” – y”0, и т.д.

Преобразования Лапласа

Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления, поскольку позволяет от решения ДУ перейти к решению алгебраических уравнений. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида:

(2.1)

где х и у - входная и выходная величины.Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению:

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение – операторным уравнением.

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) иY(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы , знаков интегралов на множители , а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

Таблица 1.1

Преобразование Лапласа

Таблица 1.2

Формулы обратного преобразования Лапласа

Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:

(2.3)

где f(t) - оригинал, F(jω) - изображение при s = jω, j - мнимая единица, ω –частота.