ГЛАВА 6. Компьютерное моделирование

Понятие о компьютерном математическом моделировании

Модель – материальный объект, система математических зависимостей или программа, имитирующая структуру или функционирование исследуемого объекта.

Моделирование – представление различных характеристик поведения физической или абстрактной системы с помощью другой системы.

Математическое моделирование – метод исследования процессов и явлений на их математических моделях.

Изучение компьютерного математического моделирования открывает широкие возможности для осознания связи информатики с математикой и другими науками – естественными и социальными. Компьютерное математическое моделирование в разных своих проявлениях использует практически весь аппарат современной математики.

Математическое моделирование не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач очень ограничены и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных. В компьютерном моделировании доминируют численные методы, реализуемые на компьютерах. Однако понятия "аналитическое решение" и "компьютерное решение" отнюдь не противостоят друг другу, так как:

а) все чаще компьютеры при математическом моделировании используются не только для численных расчетов, но и для аналитических преобразований:

б) результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ею процесса.

Полученную формулу нужно представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. проделать то, что называется "визуализацией абстракций". При этом компьютер представляет собой незаменимое техническое средство для решения поставленной задачи.

Классификация математических моделей

К классификации математических моделей можно подходить по-разному, положив в основу классификации различные принципы.

1)Классификация моделей по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.);

2) Классификация моделей по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.);

3) Классификация моделей с точки зрения целей моделирования.

• дескриптивные (описательные) модели;

• оптимизационные модели;

• многокритериальные модели;

• игровые модели;

• имитационные модели.

Имитационная модель – описание системы и ее поведения, которое может быть реализовано и исследовано в ходе операций на компьютере.Имитационное моделирование– исследование поведения сложной системы на ее модели.

Чаще всего имитационное моделирование применяется для того, чтобы описать свойства большой системы при условии, что поведение составляющих ее объектов очень просто и четко сформулировано. Математическое описание сводится к уровню статистической обработки результатов моделирования при нахождении макроскопических характеристик системы. Такой компьютерный эксперимент фактически претендует на воспроизведение натурного эксперимента.

Имитационное моделирование позволяет осуществить проверку гипотез, исследовать влияние различных факторов и параметров.

Этапы, цели и средства компьютерного математического

Моделирования

Рассмотрим процесс компьютерного математического моделирования, включающий численный эксперимент с моделью (рисунок 16).

Первый этап – определение целей моделирования:

Основными целями моделирования могут быть следующие:

1) понимание объекта или процесса – модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;

2) управление объектом или процессом – модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;

3) прогнозирование поведения объекта или процесса – модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект.

Выработка концепции управления объектом – одна из возможных целей моделирования. Пример моделей подобного типа: выбор режима полета самолета с точки зрения максимальной безопасности и приемлемой экономической эффективности; составление графика выполнения большого количества работы при строительстве объекта с целью сокращения временных затрат. Множество таких проблем систематически возникает в различных сферах человеческой деятельности.

Рисунок 16 – Общая схема процесса компьютерного математического моделирования

Прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным: например, в системах медико-биологических системах, социально-экономических.

Составим список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также тех величин, которые желательно получить в результате моделирования. Обозначим первые (входные) величины через x₁, х₂, ..., х_n; вторые (выходные) через y₁,y₂,...,y_k. Символически поведение объекта или процесса можно представить в виде: y_j = Fj(x₁, х₂, ..., х_n) (j =1,2 ,... , k),

где F– те действия, которые следует произвести над входными параметрами, чтобы получить результаты.

Входные параметры, могут быть точно известны, т.е. поддаваться измерению однозначно и с любой степенью точности – тогда они являются детерминированными величинами. Так, в классической механике, сколь сложной ни была бы моделируемая система, входные параметры детерминированы – соответственно, детерминирован и однозначно развивается во времени процесс эволюции такой системы.

Однако в природе и обществе гораздо чаще встречаются процессы иного рода, когда значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры, являются вероятностными (стохастическими), и, соответственно, таким же является процесс эволюции системы (случайный процесс).

"Случайный"– не значит "непредсказуемый"; просто характер исследования, задаваемых вопросов резко меняется (они приобретают вид "С какой вероятностью...", "С каким математическим ожиданием..."и т.п.). Примеров случайных процессов не счесть как в науке, так и в обыденной жизни (силы, действующие на летящий самолет в ветреную погоду, переход улицы при большом потоке транспорта и т.д.).

Для стохастической модели выходные параметры могут быть как величинами вероятностными, так и однозначно определяемыми.

Важнейшим этапом моделирования является разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием (разделением по рангам). Чаще всего нет необходимости и возможности учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих исследователя величин. От того, насколько правильно выделены важнейшие факторы, зависит успех моделирования, быстрота и эффективность достижения цели. Выделить более важные или значимые факторы и отсеять менее важные может лишь специалист в той предметной области, к которой относится модель.

Отбрасывание (по крайней мере при первом подходе) менее значимых факторов огрубляет объект моделирования и способствует пониманию его главных свойств и закономерностей. Умело ранжированная модель должна быть адекватна исходному объекту или процессу в отношении целей моделирования. Обычно определить, адекватна ли модель, можно только в процессе экспериментов и анализа результатов.

Следующим этапом является поиск математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений и т.д.

Когда математическая модель сформулирована, выбирается метод ее исследования. Как правило, для решения одной и той же задачи есть несколько конкретных методов, различающихся эффективностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса.

Разработка алгоритма и составление программы для ЭВМ– это творческий и трудноформализуемый процесс. В настоящее время при компьютерном математическом моделировании часто используются приемы процедурно-ориентированного (структурного) программирования.

При создании имитационной модели можно также воспользоваться возможностями одного из пакетов математической поддержки (MATHEMATICA, MathCad, MATLAB и др).

В настоящее время существуют проблемно-ориентированные имитационные языки, в которых объединяются различные альтернативные подходы, и которые самой своей структурой определяют возможную схему действий разработчика модели. Характерным примером такого рода является имитационный язык для альтернативного моделирования SLAM –SimulatingLanguageforAlternativeModeling.

После составления программы решаем с ее помощью простейшую тестовую задачу (желательно, с заранее известным ответом) с целью устранения грубых ошибок. Это лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. По существу, тестирование может продолжаться долго и закончиться тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.

Затем следует собственно численный эксперимент, и выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.